福克-普朗克方程

福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）描述粒子在势能场中受到随机力后，随时间演化的位置或是速度的分布函数 。此方程以荷兰物理学家阿德里安·福克与马克斯·普朗克的姓氏来命名。

存在拖拽和扩散项时，福克-普朗克方程的一个一维解。初始状态为远离零速度的δ函数，随机冲击使其分布逐渐变宽

一维 x方向上,福克-普朗克方程有两个参数，一是拖拽参数 D₁(x,t)，另一是扩散 D₂(x,t)

${\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].$

在$N$ 维空间中的福克-普朗克方程是

${\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],$ $x_{i}$ 是第$i$维度的位置，此时 $D^{1}$为拖拽向量，$D^{2}$为扩散张量。

其他

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\nabla \cdot (P\nabla V)+D\nabla ^{2}P$

若V=0，则福克-普朗克方程成为布朗运动

${\frac {\partial P}{\partial t}}=D\nabla ^{2}P$

与随机方程的关系

福克-普朗克方程可以用来计算随机过程里随机微分方程中分布函数的解。

一个受随机力的经典粒子，经由朗之万方程可以得到福克-普朗克方程。另外再借由福克-普朗克方程也可推导薛定谔方程。

相关条目

• 马克斯·普朗克和阿德里安·福克
• 朗之万方程（Langevin equation）
• Ornstein–Uhlenbeck过程
• 泛函积分
• 薛定谔方程，威克转动的福克-普朗克方程

延伸阅读

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• David Tong. Kinetic Theory. Ch. 3. https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Scott. Applied Stochastic Processes.

外部链接

• 福克–普朗克方程 （页面存档备份，存于互联网档案馆） on the Earliest known uses of some of the words of mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）