福克-普朗克方程

福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）描述粒子在位能場中受到隨機力後，隨時間演化的位置或是速度的分布函數 。此方程式以荷蘭物理學家阿德里安·福克與馬克斯·普朗克的姓氏來命名。

存在拖曳和擴散項時，福克-普朗克方程的一個一維解。初始狀態為遠離零速度的δ函數，隨機衝擊使其分布逐漸變寬

一維 x方向上,福克-普朗克方程有兩個參數，一是拖曳參數 D₁(x,t)，另一是擴散 D₂(x,t)

${\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].$

在$N$ 維空間中的福克-普朗克方程是

${\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],$ $x_{i}$ 是第$i$維度的位置，此時 $D^{1}$為拖曳向量，$D^{2}$為擴散張量。

其他

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\nabla \cdot (P\nabla V)+D\nabla ^{2}P$

若V=0，則福克-普朗克方程成為布朗運動

${\frac {\partial P}{\partial t}}=D\nabla ^{2}P$

與隨機方程式的關係

福克-普朗克方程可以用來計算隨機過程裡隨機微分方程式中分布函數的解。

一個受隨機力的古典粒子，經由朗之萬方程式可以得到福克-普朗克方程。另外再藉由福克-普朗克方程也可推導薛丁格方程式。

相關條目

• 馬克斯·普朗克和阿德里安·福克
• 朗之萬方程式（Langevin equation）
• Ornstein–Uhlenbeck過程
• 泛函積分
• 薛定諤方程，威克轉動的福克-普朗克方程

延伸閱讀

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• David Tong. Kinetic Theory. Ch. 3. https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Scott. Applied Stochastic Processes.

外部連結

• 福克–普朗克方程式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on the Earliest known uses of some of the words of mathematics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）