指数增长

指数增长（包括指数衰减）指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下。

该图说明了指数增长（绿色）如何超过线性增长（红色）和幂增长（蓝色）。

  指数增长

  线性增长

  幂增长

指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。

基本公式

变量x指数地依赖时间t，若

$x(t)=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\,$

其中常数a是x的初始值，

$x(0)=a\,,$

并且，常数b是正的增长率，τ为x增长b倍所需时间：

$x(t+\tau )=x(t)\cdot b\,.$

若τ > 0且b > 1，则x为指数增长。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，则x为指数衰减。

微分方程

指数函数$\scriptstyle x(t)=ae^{kt}$满足线性微分方程：

$\!\,{\frac {dx}{dt}}=kx$

则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比，且初值为：

$x(0)=a.\,$

对于$\scriptstyle a>0$微分方程可以使用分离变量法求解：

${\frac {dx}{dt}}=kx$

$\Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt$

$\Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt$

$\Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.$

考虑到给定初值：

$\ln x=kt+\ln a\,$

$\Rightarrow x=ae^{kt}\,$

这种解法对于$\scriptstyle a\leq 0$同样适用。

对于该增长模型的非线性变体，请参考Logistic函数。

相关条目

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资料引用

• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
• Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
• Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.