克拉梅尔猜想

数学上的克拉梅尔猜想（Cramér's conjecture）是瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的关于素数间隙的猜想。该猜想是说：

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1$，

这里$p_{n}$代表第$n$个素数。该猜想到现在仍未证出或被否证。

关于素数间隙的条件结果

克拉梅尔也提出另一个较弱的关于素数间隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的状况下，有

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})$。

目前这方面最好的无条件结果是

$p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})$

而这点由R·C·贝克（R. C. Baker）、格林·哈曼和平茨·亚诺什三人证出。

另一方面，E·韦斯钦蒂乌斯（E. Westzynthius）于1931年证明素数间隙成长速度快过对数，也就是说，

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$

罗伯特·亚历山大·兰金改进了他的结果，并证明道

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0$

埃尔德什·帕尔猜想表示上式的左侧趋近于无限，而这点于2014年由凯文·福特、本·格林、谢尔盖·科尼亚金和陶哲轩四人组。以及詹姆斯·梅纳德分别证出。这两组人马在该年稍晚将该结果以$\log \log \log p_{n}$因子进行改进。

探索性论证

克拉梅尔猜想是基于本质上探索性的概率模型之上的，在其中一个大小为x的数是素数的概率是$1/\log {x}$。而该结果又称作“克拉梅尔随机模型”（Cramér random model）或“克拉梅尔素数模型”（Cramér model of the primes）。

根据克拉梅尔随机模型，以下事件的概率为一：

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1$

然而，安德鲁·格兰维尔指出，根据迈尔定理，克拉梅尔随机模型不能适切地描述素数在短区间上的分布，而在考虑可除性后，修正版克拉梅尔模型指向$c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$（A125313），其中$\gamma$是欧拉-马斯刻若尼常数。平茨·亚诺什则认为该比值的上极限可能发散至无限；

类似地，伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利（Kevin McCurley）写道：

“由于H. Maier关于相邻素数间隙的工作之故，学界对克拉梅尔猜想的确实公式起了疑问…（中略）因此很有可能对于任意的常数$c>2$而言，总存在一个常数，使得$x$和$x+d(\log x)^{c}$有一个素数。”

类似地，罗宾·维瑟（Robin Visser）写道：

“事实上，由于格兰维尔的工作之故，现在学界普遍相信克拉梅尔猜想是错的。实际上也确实有迈尔定理等关于短区间的定理，和克拉梅尔模型难以兼容。”

相关猜想和探索

素数间隙函数

丹尼尔·尚克斯猜想表示对素数间隙而言，下列比克拉梅尔猜想来得强的非病态公式成立： $G(x)\sim \log ^{2}x$

J·H·卡德韦尔（J.H. Cadwell）则提出下列何素数间隙有关的公式： $G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x$ 该公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同时提出了低次项。

马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）则猜想在以素数计数函数$\pi (x)$表示的状况下，最大素数间隙$G(x)$如下：

$G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),$

其中$c=\log(C_{2})=0.2778769...$和$C_{2}=1.3203236...$是孪生素数常数的两倍，可见A005597和A114907的相关内容。再一次地，该公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同时提出了如下的低次项：

$G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.$

托马斯·雷·奈斯利（发现奔腾浮点除错误的数学家）曾对许多大素数间隙进行计算，他借由下列公式来计算素数间隙与克拉梅尔猜想相契合的程度：

$R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}$

他写道“即使对于已知最大的素数间隙，$R$的值都维持在1.13左右”。

参见

• 素数定理
• 勒让德猜想和安德里卡猜想─两个远远较弱但依旧未证出的关于素数间隙上界的猜想。
• 菲鲁兹巴赫特猜想
• 迈尔定理─一个关于短区间素数个数且克拉梅尔模型给出错误预测的定理。

参考资料

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Pintz, János. Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes. Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2007, 37 (2): 361–376 [2024-01-09]. ISSN 0208-6573. MR 2363833. Zbl 1226.11096. doi:10.7169/facm/1229619660 . （原始内容存档于2020-06-26）. 
• Soundararajan, K. The distribution of prime numbers. Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (编). Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237. Dordrecht: Springer-Verlag. 2007: 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Cramér Conjecture. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Cramér-Granville Conjecture. MathWorld.