克拉梅尔猜想

本文使用了数学技术上的对数表记。在不另外说明的状况下，本文中所有的

\log {x}

都应视为自然对数，也就是一般常记为

\ln {x}

或

\log _{e}{x}

的对数。

数学上的克拉梅尔猜想（Cramér's conjecture）是瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的关于质数间隙的猜想。^[1]该猜想是说：

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1

，

这里 $p_{n}$ 代表第 $n$ 个素数。该猜想到现在仍未证出或被否证。

关于质数间隙的条件结果

克拉梅尔也提出另一个较弱的关于素数间隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的状况下，有

p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})

。^[1]

目前这方面最好的无条件结果是

p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})

而这点由R·C·贝克（R. C. Baker）、格林·哈曼（英语：Glyn Harman）和平茨·亚诺什（匈牙利语：Pintz János）三人证出。^[2]

另一方面，E·韦斯钦蒂乌斯（E. Westzynthius）于1931年证明质数间隙成长速度快过对数，也就是说，^[3]

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .

罗伯特·亚历山大·兰金（英语：Robert Alexander Rankin）改进了他的结果，^[4]并证明道

\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0

艾狄胥·帕尔猜想表示上式的左侧趋近于无限，而这点于2014年由凯文·福特（英语：Kevin Ford (mathematician)）、本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）、谢尔盖·科尼亚金（英语：Sergei Konyagin）和陶哲轩四人组。^[5]以及詹姆斯·梅纳德分别证出。^[6]这两组人马在该年稍晚将该结果以 $\log \log \log p_{n}$ 因子进行改进。^[7]

探索性论证

克拉梅尔猜想是基于本质上探索性的机率模型（英语：Probabilistic number theory）之上的，在其中一个大小为 $x$ 的数是质数的机率是 $1/\log {x}$ 。而该结果又称作“克拉梅尔随机模型”（Cramér random model）或“克拉梅尔质数模型”（Cramér model of the primes）。^[8]

根据克拉梅尔随机模型，以下事件的机率为一^[1]：

\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1

然而，安德鲁·格兰维尔（英语：Andrew Granville）指出，^[9]根据迈尔定理，克拉梅尔随机模型不能适切地描述质数在短区间上的分布，而在考虑可除性后，修正版克拉梅尔模型指向 $c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$ （A125313），其中 $\gamma$ 是欧拉-马斯刻若尼常数。平茨·亚诺什则认为该比值的上极限可能发散至无限；^[10]

类似地，伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利（Kevin McCurley）写道：

“由于H. Maier关于相邻质数间隙的工作之故，学界对克拉梅尔猜想的确实公式起了疑问…（中略）因此很有可能对于任意的常数

c>2

而言，总存在一个常数，使得

x

和

x+d(\log x)^{c}

有一个质数。”^[11]

类似地，罗宾·维瑟（Robin Visser）写道：

“事实上，由于格兰维尔的工作之故，现在学界普遍相信克拉梅尔猜想是错的。实际上也确实有迈尔定理等关于短区间的定理，和克拉梅尔模型难以兼容。”^[12]

相关猜想和探索

质数间隙函数

丹尼尔·尚克斯（英语：Daniel Shanks）猜想表示对质数间隙而言，下列比克拉梅尔猜想来得强的非病态公式成立：^[13] $G(x)\sim \log ^{2}x$

J·H·卡德韦尔（J.H. Cadwell）^[14]则提出下列何质数间隙有关的公式： $G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x$ 该公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同时提出了低次项。

马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）^[15]则猜想在以素数计数函数 $\pi (x)$ 表示的状况下，最大质数间隙 $G(x)$ 如下：

G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),

其中 $c=\log(C_{2})=0.2778769...$ 和 $C_{2}=1.3203236...$ 是孪生质数常数的两倍，可见A005597和A114907的相关内容。再一次地，该公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同时提出了如下的低次项：

G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.

托马斯·雷·奈斯利（德语：Thomas Ray Nicely）（发现奔腾浮点除错误的数学家）曾对许多大质数间隙进行计算，^[16]他借由下列公式来计算质数间隙与克拉梅尔猜想相契合的程度：

R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}

他写道“即使对于已知最大的质数间隙， $R$ 的值都维持在1.13左右”。

参见

质数定理
勒让德猜想和安德里卡猜想─两个远远较弱但依旧未证出的关于质数间隙上界的猜想。
菲鲁兹巴赫特猜想
迈尔定理─一个关于短区间质数个数且克拉梅尔模型给出错误预测的定理。

参考资料

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外部链接

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