凹函数

此条目介绍的是英文为Concave function的函数。关于英文为Convex function的函数，请见“凸函数”。

凹函数（英语：Concave function）是指下境图为凸集的一类函数。

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

定义

如果一个有实值函数f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$

则我们称f在某区间（或者某个向量空间中的凸集）上是凹的

某函数f:R→R，在x和y之间的每一点z，在图中的点(z, f(z) )是在以点(x, f(x) )和(y, f(y) )连成的直线之上。

性质

如果一个可微函数$f$它的导数$f'$在某区间是单调递减的，$f$就是凹的：一个凹函数的斜率单调递减（当中递减只是代表非递增而不是严格递减，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数$f$，它的二阶导数$f''(x)$是正值，那么它的图像是凸的；如果二阶导数$f''(x)$是负值，图像就会是凹的。

如果凸函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凹函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果$f(x)$是二次可微的，那么$f(x)$就是凹的当且仅当$f''(x)$是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严格凹函数，但相反而言又不一定正确，例如当$f(x)=-x^{4}$。 如果$f$是凹的也是可微的，那么

$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$

一个在$\mathbb {C}$的连续函数是凹的当且仅当对于任意属于$\mathbb {C}$的x和y，有

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

例子

• 函数$f(x)=-x^{2}$ 和 $f(x)={\sqrt {x}}$都是凹函数因为它们的二阶导数永远都是一个负值。
• 任何线性函数$f(x)=ax+b$既是凸函数也是凹函数。
• 函数$f(x)=\sin(x)$在区间$[0,\pi ]$是凹的。
• 函数$\log |B|$是一个凹函数，当中$|B|$是一个非负定矩阵的行列式。

参见

• 凸函数