凹函數

此條目介紹的是英文為Concave function的函數。關於英文為Convex function的函數，請見「凸函數」。

凹函數（英語：Concave function）是指下境圖為凸集的一類函數。

注意：中國大陸數學界某些機構關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。

定義

如果一個有實值函數f對任意該區間內不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$

則我們稱f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的

某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。

性質

如果一個可微函數$f$它的導數$f'$在某區間是單調遞減的，$f$就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數$f$，它的二階導數$f''(x)$是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數$f''(x)$是負值，圖像就會是凹的。

如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果$f(x)$是二次可微的，那麼$f(x)$就是凹的當且僅當$f''(x)$是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當$f(x)=-x^{4}$。 如果$f$是凹的也是可微的，那麼

$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$

一個在$\mathbb {C}$的連續函數是凹的當且僅當對於任意屬於$\mathbb {C}$的x和y，有

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

例子

• 函數$f(x)=-x^{2}$ 和 $f(x)={\sqrt {x}}$都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。
• 任何線性函數$f(x)=ax+b$既是凸函數也是凹函數。
• 函數$f(x)=\sin(x)$在區間$[0,\pi ]$是凹的。
• 函數$\log |B|$是一個凹函數，當中$|B|$是一個非負定矩陣的行列式。

參見

• 凸函數