数学中,分段定义的函数称为分段函数,是由多个子函数而定义的,施加到主函数的域的一定的时间间隔的每个子函数(子域)。分段实际上是一种表达函数的方式,而不是函数本身的一个特征,但是具有额外的限定,可以描述函数的本质。例如,分段多项式函数是在其每个子域上是多项式的函数,但是每个子域上可能是不同的。 字分段也用来描述适用于每件分段定义的函数的任何属性,但不一定保持为函数的整个域。一个函数是分段微分的或分段连续微分的,如果每个子块在整个子域内是可区分的,即使整个函数在块之间的上可能是不可区分的。在凸分析中,导数的概念可以被分段函数的子导数的概念取代。尽管分段定义中的“块”不一定是间隔,但是除非是间隔,否则函数不被称为分段线性分段连续分段可微

符号和解释

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绝对值函数 的图形

分段函数使用通用函数表示法来定义,其中函数的主体是函数和相关子域的数组。至关重要的是,在大多数情况下,只有有限数量的子域,每个子域必须是一个区间,以便将整个函数称为分段。例如,考虑绝对值函数的分段定义:

 

对于 小于零的所有值,使用第一个函数( ),它将取消输入值的符号,使负数为正数。对于x大于或等于零的所有值,使用第二个函数( ),它对输入值本身进行简单计算。 考虑分段函数  的特定值处计算:

    使用的函数
-3 3  
-0.1 0.1  
0 0  
     
5 5  

连续性

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 两侧由不同二次函数组成的分段函数

如果满足以下条件,则分段函数在给定的时间间隔内是连续的:

  • 它在整个间隔中被定义。
  • 其构成函数在该间隔上是连续的。
  • 在该区间内的子域的每个端点处不存在不连续性。

例如,图中的函数在其子域中是分段连续的,但在整个域中是不连续的。图中的函数包含跳跃不连续性 

应用

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在应用的数学分析中,已经发现分段函数与人类视觉系统的许多模型一致,其中在第一阶段将图像感知为包括由边缘分隔的平滑区域。特别是,剪切片已经被用作表示系统来提供2D和3D中该模型类的稀疏近似。

常见示例

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分段函数的具体实例包括: