数学里,初值问题是一个涉及微分方程式与一些初始条件的问题;这初始条件是微分方程式的未知函数在某些点的设定值。

以下是一些初值问题的例子:

定义

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一个初值问题涉及微分方程式

 

与在   的定义域内的一点

 

这在   的定义域内的点   称为初始条件

  • 假若初值问题的一个解是函数   ,则   是微分方程式   的解,满足  
  • 对于更高阶的问题,可视  向量。每加高一个阶,就増添一个分量给  

解的存在性及唯一性

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对于许多的初值问题,解的存在性及唯一性可以用计算机来描述。

若ƒ在一个包括t0y0的区间内连续,且对变数y满足利普希茨连续的条件.则皮卡-林德勒夫定理可保证在一个包括t0的区间有唯一解。

此定理的证明需将问题变成等价的积分方程,积分可视为将一个函数映射为另一个函数的运算子,因此其解为运算子的不动点,再利用巴拿赫不动点定理证明有一个唯一的不动点.即为初值问题的解。

较早期证明皮卡-林德勒夫定理的方式是建构一个函数的数列,最终会收敛到积分方程的解,也就是初值问题的解。这种建构法称为“皮卡法”或是“连续近似法”,是巴拿赫不动点定理的一个特例。

日本数学家冈村博日语岡村博找到一个初值问题有唯一解的充分必要条件,其条件是要证实系统的李亚普诺夫函数存在[1]

有些情形,函数ƒ不是光滑函数,甚至不是利普希茨连续,因此一般可确认局部唯一解的方式无法适用。皮亚诺存在性定理可以在函数ƒ仅仅为连续函数的情形,证明存在局部解。不过此时无法证明解的唯一性[2][3]卡拉特欧多存在性定理英语Carathéodory existence theorem可适用的范围更广,可以在ƒ是一些特定不连续函数的情形下证明局部解是否存在。

范例

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例一

一个简单的范例是求解  ,要求出一个 满足上述二式。

由于 ,因此

 

接下来重新整理方程式,使 在等式左边, 在等式右边

 

再将等式二边积分,会引入未知常数 

 

消去 

 

 为一个新的未知常数, ,因此

 

现在需要找出 的数值。利用 的启始条件,将 代入0, 代入19

 
 

因此可得其解为 .

例二
 

利用拉普拉斯变换

 
 

利用部分分式分解

 
 
 

拉普拉斯逆变换

 

参阅

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参考资料

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  1. ^ Okamura, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1942, 24: 21–28 (法语). 
  2. ^ Coddington, Earl A. and Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 1955. Theorem 1.3
  3. ^ Robinson, James C. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-63204-8. Theorem 2.6