初值问题

在数学里，初值问题是一个涉及微分方程式与一些初始条件的问题；这初始条件是微分方程式的未知函数在某些点的设定值。

以下是一些初值问题的例子：

$y'=0.85y,\qquad y(0)=19$

${\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

定义

一个初值问题涉及微分方程式

$y'(t)=f(t,\ y(t))\quad {\text{with}}\quad f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!$ ，

与在 $f\,\!$ 的定义域内的一点

$(t_{0},\ y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!$ 。

这在 $f\,\!$ 的定义域内的点 $(t_{0},\ y_{0})\,\!$ 称为初始条件。

• 假若初值问题的一个解是函数 $y\,\!$ ，则 $y\,\!$ 是微分方程式 $y'(t)=f(t,\ y(t))\,\!$ 的解，满足 $y(t_{0})=y_{0}\,\!$ 。

• 对于更高阶的问题，可视 $\mathbf {y} \,\!$ 为向量。每加高一个阶，就増添一个分量给 $\mathbf {y} \,\!$ 。

解的存在性及唯一性

对于许多的初值问题，解的存在性及唯一性可以用计算机来描述。

若ƒ在一个包括t₀及y₀的区间内连续，且对变数y满足利普希茨连续的条件．则皮卡-林德勒夫定理可保证在一个包括t₀的区间有唯一解。

此定理的证明需将问题变成等价的积分方程，积分可视为将一个函数映射为另一个函数的运算子，因此其解为运算子的不动点，再利用巴拿赫不动点定理证明有一个唯一的不动点．即为初值问题的解。

较早期证明皮卡-林德勒夫定理的方式是建构一个函数的数列，最终会收敛到积分方程的解，也就是初值问题的解。这种建构法称为“皮卡法”或是“连续近似法”，是巴拿赫不动点定理的一个特例。

日本数学家冈村博找到一个初值问题有唯一解的充分必要条件，其条件是要证实系统的李亚普诺夫函数存在。

有些情形，函数ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨连续，因此一般可确认局部唯一解的方式无法适用。皮亚诺存在性定理可以在函数ƒ仅仅为连续函数的情形，证明存在局部解。不过此时无法证明解的唯一性。卡拉特欧多存在性定理可适用的范围更广，可以在ƒ是一些特定不连续函数的情形下证明局部解是否存在。

范例

例一

一个简单的范例是求解$y'=0.85y$及$y(0)=19$，要求出一个$y(t)$满足上述二式。

由于$y'={\frac {dy}{dt}}$，因此

${\frac {dy}{dt}}=0.85y$

接下来重新整理方程式，使$y$在等式左边，$t$在等式右边

${\frac {dy}{y}}=0.85dt$

再将等式二边积分，会引入未知常数$B$

$\ln |y|=0.85t+B$

消去$\ln$

$|y|=e^{B}e^{0.85t}$

令$C$为一个新的未知常数，$C=\pm e^{B}$，因此

$y=Ce^{0.85t}$

现在需要找出$C$的数值。利用$y(0)=19$的启始条件，将$t$代入0，$y$代入19

$19=Ce^{0.85*0}$

$C=19$

因此可得其解为$y(t)=19e^{0.85t}$.

例二

${\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

利用拉普拉斯变换

$sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}$

$\therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}$

利用部分分式分解

$Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}$

$\alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1$

$Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}$

拉普拉斯逆变换

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,$

参阅

• 边值问题
• 柯西问题