柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一阶常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奥古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理

设 $E$ 为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间）， $f$ 为一个取值在 $E$ 上的函数：

{\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}

其中 $U$ 为 $E$ 中的一个开集， $I$ 是 $\mathbb {R}$ 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)

如果 $f$ 关于 $t$ 连续，并在 $U$ 中满足利普希茨条件，也就是说，

\exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|

那么对于任一给定的初始条件： $x(t_{0})=x_{0}$ ，其中 $t_{0}\in I$ 、 $x_{0}\in U$ ，微分方程（1）存在一个解 $(J,x(t))$ ，其中 $J\subset I$ 是一个包含 $t_{0}$ 的区间， $x(t)$ 是一个从 $J$ 射到 $U$ 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点 $t_{0}$ 的足够小的 $J$ 区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ $x(t_{0})=x_{0}$ ）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列 $y_{n+1}=\Phi (y_{n})$ ，使得 $\Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)$ ，这样，如果这个序列有一个收敛点 $y$ ，那么 $y$ 为函数 $\Phi$ 的不动点，这时就有 $y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)$ ，于是我们构造出了一个解 $y$ 。为此，我们从常数函数

y_{0}(t)=x_{0}\

开始。令

\Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.

这样构造出来的函数列 $(y_{i})_{i\geq 0}$ 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 $f$ 在 $U$ 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候， $\Phi$ 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于 $\Phi$ 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解 $\ (J,x(t))$ 、 $(J^{\prime },x^{\prime }(t))$ ，定义一个序关系： $\ (J,x(t))$ 小于 $(J^{\prime },x^{\prime }(t))$ 当且仅当 $J\subset J^{\prime }$ ，并且 $x^{\prime }(t)$ 在 $\ J$ 上的值与 $\ x(t)$ 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程

F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)

，

只需构造向量 $Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))$ 和相应的映射 $\ \Phi$ ，就可以使得（2）变为 $Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)$ 。这时的初始条件为 $Y(t_{0})=Y_{0}$ ，即

${\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}$

扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见

参考资料

常微分方程（组）基本理论^{[永久失效链接]}
M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （页面存档备份，存于互联网档案馆）找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）