判别式是代数学中的概念,它可以推断出一个实系数或复系数多项式的根的属性。
一元二次多项式的判别式
与其函数图像之间的关系
当多项式的系数不是实数或复数域时,同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时,判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为:
![{\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30986cb6567792514bf307029bfc7596306d02e)
其中的
是多项式的最高次项系数,
是多项式在某个分裂域中的根(如有重根的按重数重复排列)。
判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构,比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中,判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上,愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型,因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。
最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程 ,其中系数 为实数,则它的判别式定义为:
-
判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为 和 ,那么根据二次方程的求根公式,两个根可以表示为:
-
方程的根与判别式的关系为:
-
两个根都是实数,当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时,判别式等于零。如果判别式小于零,则两根是共轭的复数。
- 三次多项式 的判别式是
-
- 二次项系数为零的首一三次多项式 的判别式是:
-
- 四次多项式 的判别式是:
-
二次多项式 的判别式是 。在一元二次方程的求解中,判别式用来判断方程根的情况,并出现在根的表达式中。
- 如果 ,那么 有两个相异实根 ,即 的图像穿过 轴两次。
- 如果 ,那么 有两个相等实根 , 的图像与 轴相切。
- 如果 ,那么 没有实根,即 的图像与 轴没有交点。
对于一般的一个多项式
- ,
其判别式等于(差一个系数)以下的 的矩阵的行列式(见西尔维斯特矩阵):
-
这个矩阵的行列式称为 和 的结式,记为 。 的判别式 由以下公式给出:
- .
例如,在 的情况下,以上的行列式是:
-
这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以 。
作为等价条件,多项式的判别式等于:
-
其中 是多项式 的复根(重根按重数计算):
-
在这个表达式中可以清楚地看到 有重根当且仅当判别式为零。
多项式的判别式可以在任意的域中定义,定义方式一样。带有根 的表达式仍然有效,只是根要在系数域的某个分裂域中取。
对于以下多项式所定义的圆锥曲线:
-
它的判别式为:
-
它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0,则是椭圆或圆。如果判别式等于0,则是一条抛物线。如果大于0,则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形(当这个多项式可以因式分解时)。
判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和:
-
其中Li是n个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式。