判別式是代數學中的概念,它可以推斷出一個實係數或復係數多項式的根的屬性。
一元二次多項式的判別式
與其函數圖像之間的關係
當多項式的係數不是實數或複數域時,同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時,判別式為零若且唯若多項式在它的分裂體中有重根。判別式的通常形式為:
![{\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30986cb6567792514bf307029bfc7596306d02e)
其中的
是多項式的最高次項係數,
是多項式在某個分裂體中的根(如有重根的按重數重複排列)。
判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構,比如說圓錐曲線、二次型和代數數體中。在代數數論中,判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上,愈為幾何的分歧類型對應著愈為抽象的判別式類型,因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。
最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程式的求解中。假設有二次多項式方程式 ,其中係數 為實數,則它的判別式定義為:
-
判別式也是一個實數。如果設方程式的兩個根為 和 ,那麼根據二次方程式的求根公式,兩個根可以表示為:
-
方程式的根與判別式的關係為:
-
兩個根都是實數,若且唯若判別式大於等於零。若且唯若兩根相等時,判別式等於零。如果判別式小於零,則兩根是共軛的複數。
- 三次多項式 的判別式是
-
- 二次項係數為零的首一三次多項式 的判別式是:
-
- 四次多項式 的判別式是:
-
二次多項式 的判別式是 。在一元二次方程式的求解中,判別式用來判斷方程式根的情況,並出現在根的表達式中。
- 如果 ,那麼 有兩個相異實根 ,即 的圖像穿過 軸兩次。
- 如果 ,那麼 有兩個相等實根 , 的圖像與 軸相切。
- 如果 ,那麼 沒有實根,即 的圖像與 軸沒有交點。
對於一般的一個多項式
- ,
其判別式等於(差一個係數)以下的 的矩陣的行列式(見西爾維斯特矩陣):
-
這個矩陣的行列式稱為 和 的結式,記為 。 的判別式 由以下公式給出:
- .
例如,在 的情況下,以上的行列式是:
-
這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以 。
作為等價條件,多項式的判別式等於:
-
其中 是多項式 的複根(重根按重數計算):
-
在這個表達式中可以清楚地看到 有重根若且唯若判別式為零。
多項式的判別式可以在任意的域中定義,定義方式一樣。帶有根 的表達式仍然有效,只是根要在係數域的某個分裂體中取。
對於以下多項式所定義的圓錐曲線:
-
它的判別式為:
-
它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0,則是橢圓或圓。如果判別式等於0,則是一條拋物線。如果大於0,則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形(當這個多項式可以因式分解時)。
判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域K上的二次型Q上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和:
-
其中Li是n個變量的線性組合。這時可以定義Q的判別式為所有ai的乘積。另外一個定義是Q所對應的矩陣的行列式。