对于一个非相对论性的自由粒子,位势 ,不含时薛定谔方程表达为
- 。
其中, 是约化普朗克常数, 是粒子的质量, 是粒子的波函数, 是粒子的位置, 是粒子的能量。
这薛定谔方程的解答 是一个平面波:
- ;
其中, 是波数, 。
根据德布罗意假说,自由粒子所表现的物质波,其波数与自由粒子动量的关系是
- 。
自由粒子具有明确的动量 ,给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为 。假若,对于这系综内,每一个自由粒子系统的动量所作的测量,都得到同样的测量值 ,那么,不确定性 ,这自由粒子的量子态是确定态,是 的本征态,在位置空间(position space)里,本征函数为 ,本征值为 :
- 。
换句话说,在位置空间里,动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 [1]。
为了要达到此目标,势必要令
- 。
所以,可以认定动量算符的形式为
- 。
在经典力学里,动量是质量乘以速度:
- 。
在量子力学里,由于粒子的位置不是明确的,而是概率性的。所以,猜想这句话是以期望值的方式来实现[2]:
- 。
那么,用积分方程来表达,
- ;
其中, 是波函数。
取微分于积分号下,
- 。
由于 只是一个位置的统计参数,不跟时间有关,
- 。(1)
含时薛定谔方程为
- ;
其中, 是位势。
其共轭复数为
- 。
将上述两个方程代入方程 (1),可以得到
- 。
使用分部积分法,并利用当x趋于无穷大时波函数 趋于零的特性,有
- ,(2)
- 。(3)
方程 (2) 与 (3) 的减差(使用分部积分法,并利用当x趋于无穷大时波函数 趋于零的特性)
- 。
所以,
- 。
对于任意波函数 ,这方程都成立。因此,可以认定动量算符 为 。
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以,可观察量 的期望值是实值的:
- 。
对于任意量子态 ,这关系都成立:
- 。
根据伴随算符的定义,假设 是 的伴随算符,则 。因此,
- 。
这正是厄米算符的定义。所以,表示可观察量的算符 ,都是厄米算符。
动量是一个可观察量,动量算符应该也是厄米算符:选择位置空间,量子态 的波函数为 ,
- 。
对于任意量子态 , 。所以,动量算符确实是一个厄米算符。
假设,动量算符 的本征值为 的本征函数是 :
- 。
这方程的一般解为,
- ;
其中, 是常数。
假设 的定义域是一个有限空间,从 到 ,那么,可以将 归一化:
- 。
的值是 。动量算符的本征函数归一化为 。
假设 的定义域是无穷大空间,则 不是一个平方可积函数:
- 。
动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内,不能直接地积分 于无穷大空间,来使 归一化。
换另一种方法,设定 。那么,
- ;
其中, 是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质,动量算符的本征函数是完备的。也就是说,任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合:
- ;
其中,系数 是
- 。
位置算符与动量算符的交换算符,当作用于一个波函数时,有一个简单的结果:
- 。
所以, 。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于 0 ,位置与动量彼此是不相容可观察量。 与 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言, 的本征态与 的本征态不同。
根据不确定性原理,
- 。
由于 与 是两个不相容可观察量, 。所以, 的不确定性与 的不确定性的乘积 ,必定大于或等于 。
- ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 (英语)
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7