波函数
在量子力学里,量子系统的量子态可以用波函数(英语:Wave function)来描述。薛定谔方程设定波函数如何随着时间流逝而演化。[注 1]
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波函数 是一种复值函数,表示粒子在位置 、时间 的概率幅,它的绝对值平方 是在位置 、时间 找到粒子的概率密度。以另一种角度诠释,波函数是“在某时间、某位置发生相互作用的概率幅”。[1][注 2]
历史
编辑在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等,他们使用的数学工具是微积分,他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等,使用线性代数,他们建立了矩阵力学。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。[2]:606–609
德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程,这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示,他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学与光学之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长极限,物理光学趋向于几何光学;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为,在零波长极限,波传播趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程。[3]:207他又用自己设计的方程来计算氢原子的谱线,得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界[4][5]:163-167。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出概率幅的概念,成功地解释了波函数的物理意义[3]:219-220。可是,薛定谔本人不赞同这种统计或概率方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。[3]:479
1927年,道格拉斯·哈特里与弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合泡利不相容原理的要求。[6]:344-345
薛定谔方程不具有洛伦兹不变性 ,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果,又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。[3]:196-197[7]:3
1926年,奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相对作用纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程。[7]:3
1928年,保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学,他推导出狄拉克方程,适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量,拥有自旋性质。[5]:167
概述
编辑位置空间波函数
编辑假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 ;其中, 是位置, 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的位置 在区间 (即 )的概率 为
- ;
其中, 是对于粒子位置做测量的时间。
换句话说, 是粒子在位置 、时间 的概率密度。
这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的概率为100%:
- 。
动量空间波函数
编辑在动量空间,粒子的波函数表示为 ;其中, 是一维动量,值域从 至 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的动量 在区间 (即 )的概率为
- 。
动量空间波函数的归一化条件也类似:
- 。
两种波函数之间的关系
编辑位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为[8]:108
- 、
- 。
薛定谔方程
编辑在一维空间里,运动于位势 的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程
- ;
不含时薛定谔方程与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法,猜想 的函数形式为
- ;
其中, 是分离常数,稍加推导可以论定 就是能量, 是对应于 的本征函数。
代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程:
- 。
波函数的概率诠释
编辑波函数 是概率波。其模的平方 代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分
- 。
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验。
波函数的本征值和本征态
编辑在量子力学中,可观察量 以算符 的形式出现。 代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符 的形式为
- 。
可观察量 的本征方程为
- 。
态叠加原理
编辑假设对于某量子系统测量可观察量 ,而可观察量 的本征态 、 分别拥有本征值 、 ,则根据薛定谔方程的线性关系,叠加态 也可以是这量子系统的量子态:
- ;
其中, 、 分别为叠加态处于本征态 、 的概率幅。
假设对这叠加态系统测量可观察量 ,则测量获得数值是 或 的概率分别为 、 ,期望值为
- 。
定态
编辑在量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符 不含时间的情况。对于这问题,应用分离变数法,可以将波函数 分离成一个只与位置有关的函数 和一个只与时间有关的函数 :
- 。
将这公式代入薛定谔方程,就会得到
- 。
而 则满足本征能量薛定谔方程:
- 。
例子
编辑自由粒子
编辑3D空间中的自由粒子,其波矢 为k , 角频率 为ω,其波函数为:
无限深方形阱
编辑粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中,其波函数为:[8]:30-38
其中, 是能量本征值, 是正整数, 是质量。
有限位势垒
编辑在1D情况下,粒子处于如下势垒中:
其波函数的定态解为( 为常数)
量子点
编辑量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。
参阅
编辑参考文献
编辑- ^ Hobson, Art. There are no particles, there are only fields. American Journal of Physics. 2013, 81 (211) [2014-09-25]. doi:10.1119/1.4789885. (原始内容存档于2015-02-10).
- ^ Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 (英语)
- ^ 薛定谔, 埃尔温, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926 [2013-06-10], (原始内容 (PDF)存档于2008-12-17) [德文原稿]
- ^ 5.0 5.1 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523.
- ^ Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594.
- ^ 7.0 7.1 McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528.
- ^ 8.0 8.1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7