匹配滤波器

在信号处理中，匹配滤波器可以用来解调基频带脉冲信号，基频带脉冲信号意指信号内容为同一波形信号乘上一个常数，在每个周期出现，每个周期中代表着或多或少的信息量。匹配滤波器解调出来的结果其SNR (Signal Noise Ratio)为最大的，匹配滤波器需要事先知道

1.传送的信号

2.信号的同步

才能解调出传送的信号。

此外，匹配滤波器也可用于模式识别 、相似度测试（similarity measure）。

最高SNR证明

假设 g(t)：传送信号

w(t)：可加性高斯白噪声

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解调结果

$1.x(t)=g(t)+w(t)$

$2.y(t)=[g(t)+w(t)]\ast h(t)$　

$=g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)$

$=G(t)+N(t)$

$3.SNR=|G(T)|^{2}/E[N^{2}(T)]|$

SNR = 信号瞬间功率 / Noise平均功率

信号瞬间功率

$|G(T)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df$

噪声平均功率

$E[N^{2}(T)]={\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df$

$SNR={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}$

$\leq {\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}e^{j2\pi fT}\,df\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)e^{j2\pi fT}|^{2}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}$

$={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df$

4. 当

$H_{opt}(f)=k[G(f)e^{j2\pi fT}]^{*}$ , $SNR_{max}={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df$

所以

$h_{opt}(t)=k\int _{-\infty }^{\infty }G(-f)e^{-j2\pi fT}e^{j2\pi ft}\,df$

$=k\int _{-\infty }^{\infty }G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}\,dz$

$=kg(T-t)$

(备注) 柯西-施瓦茨不等式

若

$\int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx<\infty$ 且 $\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx<\infty$

则

$|\int _{-\infty }^{\infty }A(x)B(x)\,dx|^{2}\leq \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx$

当 $A=kB^{*}$时，等号成立。

匹配滤波器频率响应

$\ x=s+v,\,$

$\ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,$

$\mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.$

$\ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,$

$\ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,$

$\mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.$

如果我们限制分母为1, 最大化 $\mathrm {SNR}$ 的问题可以被简化为最大化分子.

于是可以使用 拉格朗乘数

$\ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1$

$\ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)$

$\ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0$

$\ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h$

$\ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.$

因为 $ss^{\mathrm {H} }$ 是一维, 他只有一个非零特征值. 此特征值=

$\ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,$

$\ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.$

匹配滤波器模式辨识

若欲侦测一特定信号 h[n]，我们可以将h[n]时域反向并取共轭，当做滤波器。

一维信号

$y[n]=x[n]*h^{*}[-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n-\tau ]h^{*}[-\tau ]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]$

x[n] :数入信号 ，h[n]：欲侦测的特定信号，且假设当$\tau _{1}\leq n\leq \tau _{2}$ 时， h[n]≠0

二维信号

$y[m,n]=x[m,n]*h^{*}[-m,-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]$

假设当$\tau _{1}\leq m\leq \tau _{2},\rho _{1}\leq m\leq \rho _{2}$时， h[m,n]≠0

模拟结果：

未标准化而造成的计算误差 y[n] = x[n]*h*[-n]

但由于卷积是线性的，当信号能量大，算出来的值也会跟着变大而有误差，因此我们需要标准化。

标准化公式

一维信号

当 $\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}$ ≠0

$y[n]=$${\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]} \over {\sqrt {\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}|h[s]|^{2}}}$

当 $\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}$ =0

$y[n]=0$

二维信号

当 $\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}$ ≠0

$y[m,n]=$${\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]} \over {\sqrt {\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{v=\rho _{1}}^{\rho _{2}}|h[s,v]|^{2}}}$

当 $\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}$ = 0

$y[m,n]=0$

标准化后的模拟结果：

标准化后可减少计算误差

参考文献

1. Haykin,S. / Moher,M. Haykin: Communication Systems 5/E （中文）. 
2. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

参见

• 霍夫变换
• 拉东变换
• 周期图法
• 迭代稀疏渐近最小方差算法