匹配濾波器

在信號處理中，匹配濾波器可以用來解調基頻帶脈波信號，基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的，匹配濾波器需要事先知道

1.傳送的訊號

2.訊號的同步

才能解調出傳送的信號。

此外，匹配濾波器也可用於模式識別 、相似度測試（similarity measure）。

最高SNR證明

假設 g(t)：傳送訊號

w(t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解調結果

$1.x(t)=g(t)+w(t)$

$2.y(t)=[g(t)+w(t)]\ast h(t)$　

$=g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)$

$=G(t)+N(t)$

$3.SNR=|G(T)|^{2}/E[N^{2}(T)]|$

SNR = 信號瞬間功率 / Noise平均功率

信號瞬間功率

$|G(T)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df$

雜訊平均功率

$E[N^{2}(T)]={\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df$

$SNR={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}$

$\leq {\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}e^{j2\pi fT}\,df\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)e^{j2\pi fT}|^{2}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}$

$={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df$

4. 當

$H_{opt}(f)=k[G(f)e^{j2\pi fT}]^{*}$ , $SNR_{max}={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df$

所以

$h_{opt}(t)=k\int _{-\infty }^{\infty }G(-f)e^{-j2\pi fT}e^{j2\pi ft}\,df$

$=k\int _{-\infty }^{\infty }G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}\,dz$

$=kg(T-t)$

(備註) 柯西-施瓦茨不等式

若

$\int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx<\infty$ 且 $\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx<\infty$

則

$|\int _{-\infty }^{\infty }A(x)B(x)\,dx|^{2}\leq \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx$

當 $A=kB^{*}$時，等號成立。

匹配濾波器頻率響應

$\ x=s+v,\,$

$\ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,$

$\mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.$

$\ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,$

$\ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,$

$\mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.$

如果我們限制分母為1, 最大化 $\mathrm {SNR}$ 的問題可以被簡化為最大化分子.

於是可以使用 拉格朗乘數

$\ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1$

$\ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)$

$\ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0$

$\ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h$

$\ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.$

因為 $ss^{\mathrm {H} }$ 是一維, 他只有一個非零特徵值. 此特徵值=

$\ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,$

$\ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.$

匹配濾波器模式辨識

若欲偵測一特定信號 h[n]，我們可以將h[n]時域反向並取共軛，當做濾波器。

一維信號

$y[n]=x[n]*h^{*}[-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n-\tau ]h^{*}[-\tau ]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]$

x[n] :數入信號 ，h[n]：欲偵測的特定信號，且假設當$\tau _{1}\leq n\leq \tau _{2}$ 時， h[n]≠0

二維信號

$y[m,n]=x[m,n]*h^{*}[-m,-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]$

假設當$\tau _{1}\leq m\leq \tau _{2},\rho _{1}\leq m\leq \rho _{2}$時， h[m,n]≠0

模擬結果：

未標準化而造成的計算誤差 y[n] = x[n]*h*[-n]

但由於卷積是線性的，當信號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。

標準化公式

一維信號

當 $\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}$ ≠0

$y[n]=$${\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]} \over {\sqrt {\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}|h[s]|^{2}}}$

當 $\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}$ =0

$y[n]=0$

二維信號

當 $\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}$ ≠0

$y[m,n]=$${\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]} \over {\sqrt {\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{v=\rho _{1}}^{\rho _{2}}|h[s,v]|^{2}}}$

當 $\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}$ = 0

$y[m,n]=0$

標準化後的模擬結果：

標準化後可減少計算誤差

參考文獻

1. Haykin,S. / Moher,M. Haykin: Communication Systems 5/E （中文）. 
2. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.

參見

• 霍夫變換
• 拉東變換
• 週期圖法
• 疊代稀疏漸近最小方差算法