半连续性
形式定义
编辑设 为拓扑空间, ,而 为实值函数。若对每个 ε > 0 都存在 的开邻域 使得 ,则称 在 上半连续。该条件也可以用上极限等价地表述:
若 在 上的每一点都是上半连续,则称之为上半连续函数。
下半连续性可以准此定义:若对每个 ε > 0 都存在 的开邻域 使得 ,则称 在 下半连续。用下极限等价地表述为:
若 在 上的每一点都是下半连续,则称之为下半连续函数。
拓扑基 赋予实数线 较粗的拓扑,上半连续函数可以诠释为此拓扑下的连续函数。若取基为 ,则得到下半连续函数。
例子
编辑考虑函数
此函数在 上半连续,而非下半连续。
下整数函数 处处皆上半连续。同理,上整数函数 处处皆下半连续。
性质
编辑一个函数在一点连续的充要条件是它在该点既上半连续也下半连续。
若 在某一 点上半连续,则 亦然;若两者皆非负,则 在该点也是上半连续。若 在一点上半连续,则 在该点下半连续,反之亦然。
若 为紧集(例如闭区间),则其上的上半连续函数必取到极大值,而下半连续函数必取到极小值。
设 为下半连续函数序列,而且对所有 有
则 是下半连续函数。
开集的指示函数为下半连续函数,闭集的指示函数为上半连续函数。
文献
编辑- Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. Counterexamples in analysis. Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753.
- Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342.