近年来,协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。
本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。
本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令 表示有紧支撑的 的截面。
一个经典场论数学上可以如下表述
- 一个纤维丛 ,其中 表示一个 维时空。
- 一个拉格朗日量形式
令 代表 上的体积形式,则 ,其中 是拉格朗日量函数。
我们在 上选择纤维化坐标 ,使得
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作用量积分定义为
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其中 ,并定义于开集 ,而 代表其第一射流延长(jet prolongation)。
截面 的变分由曲线 给出,其中 是一个 上的 -竖直向量场 的流,它在 上有紧支撑。
截面 称为变分的驻点,如果
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这等价于
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其中 代表 的第一延长,按李导数的定义。
使用嘉当公式, , 斯托克斯定理以及 的紧支撑,可以证明这等价于
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考虑一个 的 -竖直向量场
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其中 。采用切触形式 on ,我们可以计算 的第一延长。然后得到
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其中 。
据此,可以证明
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因而
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分部积分并考虑 的紧支撑,临界条件变为
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因为 为任意函数,我们得到
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这些就是欧拉-拉格朗日方程组。
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