双伽玛函数

双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。

复平面上的双伽玛函数$\psi (s)$。点$s$的颜色与$\psi (s)$的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值，而色彩则与辐角有关。

$\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.$

它是第一个多伽玛函数。

与调和数的关系

双伽玛函数，通常用ψ₀(x)、ψ⁰(x)或$\mathrm {\Digamma}$来表示，与调和数有以下的关系：

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!$

其中H_n是第n个调和数，γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值，它可以表示为：

$\psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}$

积分表示法

它有以下的积分表示法：

$\psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt$

也可以写为

$\psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx$

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数

双伽玛函数有一个有理ζ级数，由z=1的泰勒级数给出。这是

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}$,

当|z|<1时收敛。在这里，$\zeta (n)$是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数

双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出：

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}$

其中$\textstyle {s \choose k}$是二项式系数。

反射公式

双伽玛函数满足一个反射公式，类似于伽玛函数的反射公式：

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}$

递推关系

双伽玛函数满足以下的递推关系：

$\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$

高斯和

双伽玛函数具有以下形式的高斯和：

${\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}$

其中m是整数，且$0<m<k$。在这里，ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数，$B_{n}(x)$是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是：

$\sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),$

一个推广为：

$\sum _{p=0}^{q-1}\psi \left(a+{\frac {p}{q}}\right)=q[\psi (qa)-\ln(q)],$

其中假设了q是自然数，而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理

对于正整数$m\,$和$k\,$ $\left(m<k\right)\,$，双伽玛函数可以用初等函数来表示：

$\psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor {\frac {k-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)$

特殊值

双伽玛函数有以下的特殊值：

$\psi (1)=-\gamma \,\!$

$\psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma$

$\psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma$

$\psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma$

$\psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma$

$\psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left[\pi +\ln(3+2{\sqrt {2}})\right]-\gamma$

$\psi \left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma$

参见

• 伽玛函数
• 三伽玛函数
• 多伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第§6.3（页面存档备份，存于互联网档案馆）节。
• 埃里克·韦斯坦因. Digamma function. MathWorld.