雙伽瑪函數伽瑪函數對數導數

複平面上的雙伽瑪函數。點的顏色與的值有關。強烈的顏色意味着接近於零的值,而色彩則與輻角有關。

它是第一個多伽瑪函數

與調和數的關係

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雙伽瑪函數,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或 來表示,與調和數有以下的關係:

 

其中Hn是第n個調和數,γ是歐拉-馬歇羅尼常數。對於半整數的值,它可以表示為:

 

積分表示法

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它有以下的積分表示法:

 

也可以寫為

 

這可以從調和數的歐拉積分公式得出。

泰勒級數

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雙伽瑪函數有一個有理ζ級數,由z=1的泰勒級數給出。這是

 ,

當|z|<1時收斂。在這裏, 黎曼ζ函數。這個級數可以很容易從赫爾維茨ζ函數的泰勒級數推導出。

牛頓級數

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雙伽瑪函數的牛頓級數可從歐拉積分公式得出:

 

其中 二項式係數

反射公式

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雙伽瑪函數滿足一個反射公式,類似於伽瑪函數的反射公式:

 

遞推關係

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雙伽瑪函數滿足以下的遞推關係

 

高斯和

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雙伽瑪函數具有以下形式的高斯和

 

其中m是整數,且 。在這裏,ζ(s,q)是赫爾維茨ζ函數 是一個伯努利多項式乘法定理的一種特殊情況是:

 

一個推廣為:

 

其中假設了q是自然數,而1-qa則不是。

高斯雙伽瑪定理

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對於正整數    ,雙伽瑪函數可以用初等函數來表示:

 

特殊值

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雙伽瑪函數有以下的特殊值:

 
 
 
 
 
 
 

參見

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參考文獻

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