可控制性格拉姆矩阵

控制理论中,可控制性格拉姆矩阵(Controllability Gramian)是用来判断线性动态系统是否可控制格拉姆矩阵

若针对以下的线性时变系统

可控制性格拉姆矩阵为

,

其中状态转换矩阵

系统在具有可控制性,当且仅当非奇异矩阵

连续时间,线性非时变系统

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若在连续时间的线性非时变系统中,也可以定义可控制性格拉姆矩阵(不过也有其他判断可观测性的方法)。

若考虑以下的系统

 

 

其可控制性格拉姆矩阵是以下 的方阵

 

 若稳定(所有的特征值实部均为负),可控制性格拉姆矩阵也是以下李亚普诺夫方程的唯一解

 

 若稳定(所有的特征值实部均为负),而且 也是正定矩阵,则此系统具有可控制性,也就是 矩阵对具有可控制性。

此一定义也和以下其他可控制性的定义等效:

1.  的可控制性矩阵

 

的秩为n。

2.  矩阵

 

对于每个 的特征值 ,都有满秩。

和李亚普诺夫方程的关系

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可控制性格拉姆矩阵是以下李亚普诺夫方程的解

 

假若令

 

为一个解,可得:

 

其中用到了对于稳定 ,在 时, 的事实(所有的特征值实部均为负),因此 确实是李亚普诺夫方程的解。

格拉姆矩阵的性质

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因为   是对称矩阵,因此 也是对称矩阵。

 是稳定矩阵(所有的特征值实部均为负),可以证明 是唯一的。利甪反证法,先假设以下方程有二个不同解

 

分别是  ,因此可得:

 

在左右分别乘以  ,可得:

 

 积分到 

 

再利用此一事实,当 时, 

 

因此, 是唯一的。

也可以看出

 

在任何t时都为正,因此 是正定矩阵。

可控制性系统的其他特性在[1]中,以及可控制性中都有描述。

离散时间,线性非时变系统

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若考虑以下的离散时间系统

 

其离散可控制性格拉姆矩阵是以下 的方阵

 

 若稳定(所有的特征值绝对值均小于1),也是以下离散李亚普诺夫方程的解

 

 若稳定(所有的特征值绝对值均小于1),而且 也是正定矩阵,则此系统有可控制性。

更多相关的性质及证明在[2]

线性时变系统(LTV)

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考虑以下的线性时变系统(LTV):

 

其中矩阵 ,   的元素会随时间而变化。其可控制性格拉姆矩阵为 矩阵,定义如下:

 

其中  的状态转移矩阵。

系统 有可控制性的充份必要条是存在 ,使得可控制性格拉姆矩阵 为非奇异矩阵。

格拉姆矩阵的性质

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可控制性格拉姆矩阵 有以下的性质:

 

可以由 的定义,以及以下的状态转移矩阵性质来推导:

 

其他有关可控制性格拉姆矩阵的性质可以参考[3]

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 145. ISBN 0-19-511777-8. 
  2. ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 169. ISBN 0-19-511777-8. 
  3. ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 176. ISBN 0-19-511777-8. 

外部链接

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