可观测性格拉姆矩阵

控制理论中，可观测性格拉姆矩阵（Observability Gramian）是用来判断线性动态系统是否可观测的格拉姆矩阵。

若针对以下的线性时变系统

${\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\,$

可观测性格拉姆矩阵为

$W_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi ^{T}(\tau ,t_{0})C^{T}(\tau )C(\tau )\Phi (\tau ,t_{0})d\tau$ ,

其中$\Phi$为状态转换矩阵

系统在$t\in [t_{0},t_{1}]$具有可观测性，当且仅当$W_{o}(t_{0},t_{1})$为非奇异矩阵，

连续时间，线性非时变系统

若在连续时间的线性非时变系统中，也可以定义可观测性格拉姆矩阵（不过也有其他判断可观测性的方法）。

若考虑以下的系统

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

其可观测性格拉姆矩阵是以下$n\times n$的方阵

${\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau$

${\boldsymbol {A}}$若稳定（所有的特征值实部均为负），可观测性格拉姆矩阵也是以下李亚普诺夫方程的唯一解

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}$

${\boldsymbol {A}}$若稳定（所有的特征值实部均为负），而且${\boldsymbol {W}}_{o}$也是正定矩阵，则此系统有可观测性。

离散时间，线性非时变系统

若考虑以下的离散时间系统

${\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}$

其离散可观测性格拉姆矩阵是以下$n\times n$的方阵

${\boldsymbol {W}}_{do}=\sum _{m=0}^{\infty }({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {A}}^{m}$

${\boldsymbol {A}}$若稳定（所有的特征值绝对值均小于1），也是以下离散李亚普诺夫方程的解

$W_{do}-{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{do}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {C^{T}C}}$

${\boldsymbol {A}}$若稳定（所有的特征值绝对值均小于1），而且${\boldsymbol {W}}_{do}$也是正定矩阵，则此系统有可观测性。

参考资料

• Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999. ISBN 0-19-511777-8. 

相关条目

• 可观测性
• 可控制性格拉姆矩阵
• 格拉姆矩阵
• 汉克尔奇异值

外部链接

• Mathematica function to compute the observability Gramian （页面存档备份，存于互联网档案馆）