向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。

$\operatorname {grad} \equiv \nabla$

$\operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot$

$\operatorname {curl} \equiv \nabla \times$

拉普拉斯算符表示为：

$\nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla$

向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：

$\nabla f$

得到f的梯度，但是

$f\nabla$

是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

三维空间中的标量函数与向量函数

标量函数

令 $U$ 为空间位置 $(x,y,z)$ 的多变数标量函数 ，例如：

$U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

表示了一个球面，这是一个标量场，其中每点的值等于该球半径的平方。

向量函数

令 $V$ 为空间位置 $(x,y,z)$ 的向量函数 ，它可以被拆成三个分量，写成以下的向量形式：

$V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}$

梯度与Nabla算子的定义

主条目：梯度

标量函数 $U(x,y,z)$ 在三维笛卡儿坐标系的各个座标轴上有以下变率：

${\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}$

因为是沿着座标轴的变率，所以可以写成分量形式：

${\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}$

其加总即为 $U$ 的组合变率：

${\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}$

如同微分算子 $D$ 被用来表示某函数的导数，例如 $D(f)$ 或 $Df$，我们使用 $\nabla$ 来表示组合变率：

$\nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)$

其中 $V$ 为一向量函数。组合变率 $\nabla U$ 称为 $U$ 的导数（derivative），$U$ 则称为 $\nabla U$ 的本原（primitive）。

$\nabla U$ 本身是一个向量函数。在几何与物理上，它指向变化速率最大的那个方向，在这个意义上，它被称为 $U$ 的梯度、或斜率。

Nabla算子的单独使用

主条目：Nabla算子

我们可以把 $\nabla$ 当作一个函数，念为 $del$，记为 $\operatorname {grad}$，它接受一个标量函数，并传回一个向量函数。其运算式为：

$\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}$，因此：

$\nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U$

将 $\nabla$ 当作一个形式上的向量，则可以用向量的内积与叉积导出散度与旋度。

散度：Nabla算子与向量函数的内积

主条目：散度

将 $\nabla$ 当作一个形式向量，与向量函数 $V$ 做内积：

$\nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)$

这里得到一个标量函数 $U$，称为 $V$ 的散度。

我们也可以将 $\nabla \cdot$ 当作一个算子，念为 $del\ dot$，记为 $\operatorname {div}$，它接受一个向量函数，但是传回一个标量函数：

$\nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}$

旋度：Nabla算子与向量函数的叉积

主条目：旋度

将 $\nabla$ 当作一个形式向量，与向量函数 $V$ 做叉积：

${\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

这里得到一个向量函数，称为 $V$ 的旋度。

我们也可以将 $\nabla \times$ 当作一个算子，念为 $del\ cross$，记为 $\operatorname {curl}$，它接受一个向量函数，并传回一个向量函数：

$\nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}$

拉普拉斯算子

主条目：拉普拉斯算子

对一个标量函数做梯度运算，可以得到一个向量函数，再对该向量函数做散度运算，又得回一个标量函数，称为梯度的散度：

$\nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

这称为拉普拉斯算子，记为 $\nabla ^{2}$ 或者 $\Delta$，它接受一个标量函数，并传回一个标量函数。

参见

• Nabla算符
• 达朗贝尔算符
• Vector Analysis, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

延伸阅读

• H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.