向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度、散度和旋度。
![{\displaystyle \operatorname {grad} \equiv \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9850f0dbdcc505aba4ef2f18ab1d207df8e4b524)
![{\displaystyle \operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4cb567abf491da897ae93ab1b720ae029b0bd3)
![{\displaystyle \operatorname {curl} \equiv \nabla \times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc7a70491c971359da5cc7455443777d807f10a)
拉普拉斯算符表示为:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7069c01020e61214339005f7585c8f150cb26922)
向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧,例如:
![{\displaystyle \nabla f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b4d6de89b52c5a5e6e1583cb63eaee263e307b)
得到f的梯度,但是
![{\displaystyle f\nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a15cebd3b96dfc30df10b5c6da520b578ab3eb)
是另一个向量算子,没有对任何量进行运算。
一个向量算子可对另一个向量算子进行运算,得到一个复合向量算子,例如上面的拉普拉斯算符。
令 為空間位置 的多變數純量函數 ,例如:
-
表示了一個球面,這是一個标量场,其中每點的值等於該球半徑的平方。
令 為空間位置 的向量函數 ,它可以被拆成三個分量,寫成以下的向量形式:
-
純量函數 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率:
-
因為是沿著座標軸的變率,所以可以寫成分量形式:
-
其加總即為 的組合變率:
-
如同微分算子 被用來表示某函數的導數,例如 或 ,我們使用 來表示組合變率:
-
其中 為一向量函數。組合變率 稱為 的導數(derivative), 則稱為 的本原(primitive)。
本身是一個向量函數。在幾何與物理上,它指向變化速率最大的那個方向,在這個意義上,它被稱為 的梯度、或斜率。
我們可以把 當作一個函數,唸為 ,記為 ,它接受一個純量函數,並傳回一個向量函數。其運算式為:
- ,因此:
-
將 當作一個形式上的向量,則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。
對一個純量函數做梯度運算,可以得到一個向量函數,再對該向量函數做散度運算,又得回一個純量函數,稱為梯度的散度:
-
這稱為拉普拉斯算子,記為 或者 ,它接受一個純量函數,並傳回一個純量函數。
- H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.