哈代-李特尔伍德圆法

数学里,哈代-勒特伍德圆法是在解析数论中最常被使用的技术之一。其是以高德菲·哈罗德·哈代约翰·恩瑟·李特尔伍德来命名的,他们是在一连讨论华林问题的论文中发展了此一技术。这个观念一开始的起源通常被归功于哈代在1916年和1917年中和拉马努金整数分拆渐进分析中之研究。这被许多其他的研究者们所使用,包括哈罗德·达芬波特维诺格拉多夫,他们稍微地修改了其公式(由复分析移至指数和),但没有改变大略的内容。上千篇论文使用着此一方法,且直到2005年,这个方法仍然被使用来产生新的成果。

问题中的圆一开始是在复数平面上的单位圆。假定问题一开始是一连串的复数

an, n = 0, 1, 2, 3, ...

想要求得其中的一些可能的渐进类型

an ~ F(n)

其中有一些启发性的方法可以用来猜测F可能的类型,先写下

,一个幂级数生成函数。其中有些有趣的例子在于f收敛半径等于1的条件下,故将问题假装已调整至承现出满足此一条件。

经由此规划之后,便可以直接由留数定理得出对每个整数 n ≥ 0,

其中这个积分是绕着圆心为0且半径为0 < r < 1之r的圆来积的。

亦即,这是一个闭轨积分,其轨道是一个以逆时钟方向绕了一圈的圆。为了使其较易回答,可以直接将r的值取1,即使用单位圆闭轨。但在复变分析中却有着一些问题,因为f在单位圆上不一定总是会有定义。

圆法在其问题上的做法是强迫将r值取1,以对f在单位圆上之奇点的性质有足够的了解之方式。对其基本的了解可以使用有理数的法里数列,或是等价地使用单位根

这里的分母s是在r/s最简分数下之分母,可以决定在ζ附近之f主要奇点的行为之相对的重要性。

哈代-勒特伍德圆法因此可以用复分析的方式来表现出来。当r 趋近 1时的In的值的分布可以被分成两个部分,传统上称之为大弧小弧。可以将ζ分成两部分,分别是sNs>N两部分,其中的N是一个依方便选定之n的函数。积分In可以将其积分范围分成长度为s的长度(一样是依方便选定的),和ζ相连的弧。这些弧可以形成整个圆圈,而其在“大弧”上积分的总和会是2πiF(n)(实际上,会存在一个可掌控的剩余项)。剩下在“小弧”上的积分总和则可以被一个上界所取代,而且这个上界会数量级地小于F(n)。

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