Mf(x)是下半连续函数。
对任何 ,可假设Mf(x) > 0。(否则几乎处处f=0)
任意取0 < c < Mf(x)。从Mf定义知存在r > 0使得
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存在 使得 。
对任何 ,有
所以
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因此Mf是下半连续。
设 为可积函数,对任何常数 ,有不等式
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对每个在集合 内的点x,都有 ,使得
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设K为 内的紧集。开球 是K的一个开覆盖。因K紧致,存在有限子覆盖 。( )
用维塔利覆盖引理,这有限子覆盖中存在子集 ,当中的开球两两不交,而且将这些开球的半径增至三倍后 可以覆盖K。于是
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上式第四行的不等式使用了开球两两不交性质。从勒贝格测度的内正则性,集合 的测度等于在其内的所有紧集的测度的上确界,故有
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- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.