正4294967295边形是目前已知最大奇数可作图多边形。其内角和角度为773,094,112,740度,对角线则有9,223,372,026,117,357,570条。

正四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形
类型正多边形
对偶正四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形(本身)
4294967295
顶点4294967295
对角线9223372026117357570
施莱夫利符号{4294967295}
考克斯特符号英语Coxeter–Dynkin diagramnode_1 4 2x 9 4 9 6 7 2x 9 5 node 
对称群二面体群 (D4294967295), order 2×4294967295
面积
内角 o
179.99999991618°
内角和773094112740°
特性圆内接多边形等边多边形等角多边形等边图形

特别地,正4294967295边形可以尺规作图(仅用直尺和圆规来作图)来完成。可以用尺规作图的多边形有无数个,只要是某些奇数的2次方倍的边数的多边形都可以尺规作图,然而奇数边数多边形已知能够尺规作图的边数只有31个,而正4294967295边形的边数是这些多边形当中最大的边数。这31个奇数边数可以可作图多边形的边数为3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295(OEIS数列A045544)。

性质

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正4294967295边形的边数非常的多,几乎无法使其和一个正圆形区分开来。正4294967295边形的中心角的角度非常小,只有:

 

半径为1的圆内接正4294967295边形面积为:

 

其与圆的面积非常接近,这个数值也与圆周率非常接近,其中的17个位数完全与圆周率相同。其一个边的边长为:

 

这个多边形几乎无法和圆形区分开来。举例来说,半径为1000千米的圆内接正4294967295边形,其边长略低于1.5毫米。 此外,假设地球是一个半径为6378千米的完美球体,并考虑内接于大圆(例如赤道)的正4294967295边形,则其边长略低于1厘米。

可作图性

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4294967295是

 

它的素数分解是

 

是所有已知费马素数的乘积。卡尔·弗里德里希·高斯证明了正n边形可作图的充分必要条件是n是相异费马素数的乘积与2的幂的乘积,即:

  为相异费马素数, 为非负整数)

因此,如果不存在大于65537的费马素数的猜想是正确的,那么正4294967295边形就是边数最多的可作图正奇数边数多边形。[1][2][3]

参考资料

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  1. ^ Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, p. 105. ISBN 9780387316086.
  2. ^ Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, p. 43. ISBN 9780486439464.
  3. ^ John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, p. 140. ISBN 9780387979939.

参考书籍

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