正4294967295邊形

正4294967295邊形是目前已知最大奇數的可作圖多邊形。其內角和角度為773,094,112,740度，對角線則有9,223,372,026,117,357,570條。

正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形
類型	正多邊形
對偶	正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形（本身）
邊	4294967295
頂點	4294967295
對角線	9223372026117357570
施萊夫利符號	{4294967295}
考克斯特符號
對稱群	二面體群 (D4294967295), order 2×4294967295
面積	${\frac {4294967295}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{4294967295}}$ $\approx 1467945250957485488.60175a^{2}$
內角（度）	${\frac {773094112740}{4294967295}}^{\circ }=\,$$179{\frac {4294966935}{4294967295}}$ o 179.99999991618°
內角和	773094112740°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形

特別地，正4294967295邊形可以尺規作圖（僅用直尺和圓規來作圖）來完成。可以用尺規作圖的多邊形有無數個，只要是某些奇數的2次方倍的邊數的多邊形都可以尺規作圖，然而奇數邊數多邊形已知能夠尺規作圖的邊數只有31個，而正4294967295邊形的邊數是這些多邊形當中最大的邊數。這31個奇數邊數可以可作圖多邊形的邊數為3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295（OEIS數列A045544）。

性質

正4294967295邊形的邊數非常的多，幾乎無法使其和一個正圓形區分開來。正4294967295邊形的中心角的角度非常小，只有：

${\frac {360^{\circ }}{4294967295}}\approx 8.389\times 10^{-8\ \circ }\approx 0.0003''$

半徑為1的圓內接正4294967295邊形面積為：

${\frac {4294967295}{2}}\sin {\frac {2\pi }{4294967295}}\approx 3.141592653589793237$

其與圓的面積非常接近，這個數值也與圓周率非常接近，其中的17個位數完全與圓周率相同。其一個邊的邊長為：

$2\sin {\frac {\pi }{4294967295}}\approx 1.462918\times 10^{-9}$

這個多邊形幾乎無法和圓形區分開來。舉例來說，半徑為1000千米的圓內接正4294967295邊形，其邊長略低於1.5毫米。 此外，假設地球是一個半徑為6378千米的完美球體，並考慮內接於大圓（例如赤道）的正4294967295邊形，則其邊長略低於1厘米。

可作圖性

4294967295是

$2^{2^{5}}-1$

它的素數分解是

$3\times 5\times 17\times 257\times 65537$

是所有已知費馬素數的乘積。卡爾·弗里德里希·高斯證明了正n邊形可作圖的充分必要條件是n是相異費馬素數的乘積與2的冪的乘積，即：

$n=2^{m}F_{a}F_{b}\cdots F_{c}\quad$（$F_{a},F_{b},\cdots ,F_{c}$為相異費馬素數，$m$為非負整數）

因此，如果不存在大於65537的費馬素數的猜想是正確的，那麼正4294967295邊形就是邊數最多的可作圖正奇數邊數多邊形。

參考書籍

• 美しくて感動する数の教室. PHP研究所. 2013: 133 [2022-07-10]. ISBN 978-4-5698-0969-4. （原始內容存檔於2022-07-13）.