埃尔德什-莫德尔不等式

几何学中,埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了:对于任何三角形ABC和其内部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。

如图,埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和(绿色线段)大于或等于到三边距离之和(蓝色线段)的两倍

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆半径总是大于或等于内切圆半径的两倍。

历史

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该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出,作为第3740号问题。两年之后,由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年,卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫(Bankoff)给出了运用正交投影和相似三角形的证明,1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明,1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

证明

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如右图,O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段   的长度分别是   ,线段   的长度分别是   ,那么埃尔德什-莫德尔不等式为:

 
 

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式

首先,由于 垂直于  垂直于 ,A、F、O、E四点共圆 为直径,因此线段 (角A为顶点A对应的内角)。

过点F、E作关于 垂线 于X、Y。过O作 平行线分别交    。由于 垂直于  垂直于   。于是:

 

另一方面,注意到在直角梯形中 中,斜腰 的长度大于等于直角腰 。因此:

 
 

类似地,还有:

  

三式相加,得到:

 

根据算几不等式, ,等等,于是最终得到:

 

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。


从证明中可以看到,等号取得的充要条件是 以及 ,也就是说不等式中的等号成立当且仅当三角形是等边三角形以及 为三角形中心。

参考来源

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  1. ^ N.D.卡扎里诺夫,刘西垣 译. 几何不等式. 北京大学出版社. 1986年. 
  • (英文)Claudi Alsina,Roger B. Nelsen. A Visual Proof of the Erd˝os-Mordell (PDF). InequalityForum Geometricorum,Volume 7 (2007) 99–102. [2009-10-28]. (原始内容存档 (PDF)于2020-06-05). (埃尔德什-莫德尔不等式的历史和一个可视化证明)
  • (英文)George Tsintsifas, Thessaloniki, Greece. The Erdos-Mordell inequality (PDF). 埃尔德什-莫德尔不等式的历史和若干个证明。
  • O. Bottema (); et al. Geometric inequalities. Groningen, Wolters-Noordhoff. 1969.