填充维度

数学中，填充维度是一种可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某种程度上，填充维度和郝斯多夫维度是对偶的，因为填充维度是利用“填充”给定的子集来定义，而郝斯多夫维度是利用“覆盖”给定的子集来定义。填充维度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定义

设 $(X,d)$ 是度量空间且 $S\subseteq X$ ，那么对 $s\geq 0$ ，定义 $S$ 的 $s$ 维的填充前测度（packing pre-measure）为

{\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\leq |\mathbb {N} |,\\{{\text{球}}\;\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing \;\forall i,j\in I},\\{\text{diam}}(B_{i})\leq \delta ,B_{i}{\text{ 的 圓 心 }}\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}

上式只是一个前测度，而非真正的测度， $S$ 的 $s$ 维填充测度的定义是

{\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}

即填充测度是其可数个覆盖的填充前测度和的最大下界。

如此一来， $S$ 的填充维度定义为

{\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\right\}\\&=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}.\end{aligned}}

示例

以下示例是填充维度与郝斯多夫维度不相等最简单的情况。

$(a_{n})$ 考虑序列 $(a_{n})$ $(a_{n})$ $(a_{n})$ 使得 $a_{0}$ 且 ${\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ 。定义一系列的紧致集 ${\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ 如下：

设 ${\textstyle E_{0}=[0,1]}$ 。
对每个 ${\textstyle E_{n}}$ （ $n\in \mathbb {N}$ ）的线段，去除中间长为 ${\textstyle a_{n}-2a_{n+1}}$ 的开区间，以得到两个长为长为 ${\textstyle a_{n+1}}$ 的闭区间。

现在定义 ${\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ 。可以证明

{\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}

容易知道对给定的数 $0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1$ ，我们可以取序列 $(a_{n})$ 使得上面两个维度分别是 ${\textstyle d_{1},d_{2}}$ 。

参见

参考资料

Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.