填充維度

數學中，填充維度是一種可用於定義度量空間中子集之維度的概念。某種程度上，填充維度和郝斯多夫維度是對偶的，因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義，而郝斯多夫維度是利用「覆蓋」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。

定義

設 $(X,d)$ 是度量空間且 $S\subseteq X$ ，那麼對 $s\geq 0$ ，定義 $S$ 的 $s$ 維的填充前測度（packing pre-measure）為

{\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\leq |\mathbb {N} |,\\{{\text{球}}\;\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing \;\forall i,j\in I},\\{\text{diam}}(B_{i})\leq \delta ,B_{i}{\text{ 的 圓 心 }}\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}

上式只是一個前測度，而非真正的測度， $S$ 的 $s$ 維填充測度的定義是

{\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}

即填充測度是其可數個覆蓋的填充前測度和的最大下界。

如此一來， $S$ 的填充維度定義為

{\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\right\}\\&=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}.\end{aligned}}

示例

以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最簡單的情況。

$(a_{n})$ 考慮序列 $(a_{n})$ $(a_{n})$ $(a_{n})$ 使得 $a_{0}$ 且 ${\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ 。定義一系列的緊緻集 ${\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ 如下：

設 ${\textstyle E_{0}=[0,1]}$ 。
對每個 ${\textstyle E_{n}}$ （ $n\in \mathbb {N}$ ）的線段，去除中間長為 ${\textstyle a_{n}-2a_{n+1}}$ 的開區間，以得到兩個長為長為 ${\textstyle a_{n+1}}$ 的閉區間。

現在定義 ${\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ 。可以證明

{\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}

容易知道對給定的數 $0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1$ ，我們可以取序列 $(a_{n})$ 使得上面兩個維度分別是 ${\textstyle d_{1},d_{2}}$ 。

參見

參考資料

Tricot, Jr., Claude. Two definitions of fractional dimension. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1982, 91 (1): 57–74. doi:10.1017/S0305004100059119.