字 (群论)

群論

群论中,的任何元素和它们的逆元写成的乘积。例如,如果 x, yz 是群 G 的元素,则 xy, z-1xzzy-1zxx-1yz-1 都是集合 {xyz} 形成的字。字在自由群展示理论中扮演重要角色,并是组合群论的中心研究对象。

定义

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G 是群,并设 SG子集S 形成的字是如下形式的表达式

 

这里的 s1,...,snS 的元素并且每个 εi 都是 ±1。数 n 叫做字的长度

S 形成的每个字表示 G 的一个元素,也就是这个表达式的乘积。按惯例,单位元可以被表示为空字,它是长度为零的唯一的字。

符号

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在书写字的时候,经常使用指数符号来简写。例如,字

 

可以写为

 

后者表达式自身不是个字,它简单的是最初的字的简写符号表示。

在处理长字的时候,使用上划线来指示 S 的元素的逆元是很有帮助的。使用上划线符号,上述字可以写为如下:

 

字和展示

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G 的子集 S 叫做生成集,如果所有 G 的元素可以用 S 形成的字来表示。如果 S 是生成集,关系是表示在 G 中相同的元素的一对 S 形成的字。它们通常写为等式:

 

关系的集合   定义 G,如果所有 G 中的关系可以从   的关系使用群公理在逻辑上推出。G展示是有序对  ,这里的 SG 的生成集而   是关系的定义集合。

例如,克莱因四元群可以通过如下展示来定义

 

这里的 1 指示表示单位元的空字。

S 不是 G 的生成集的时候,用 S 形成的字表示的元素的集合是 G子群。这叫做 G 生成自 S 的子群,并通常指示为  。它是包含 S 的元素的 G 的最小子群。

简约字

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其中生成元接着它自己的逆元出现(xx-1x-1x)的任何字可以通过省略冗余对来简化:

 

这个运算叫做简约,并且它不改变这个字表示的元素。(简约可以被认为是从群公理推出的关系。)

简约字是不包含冗余对的字。任何字都可以通过进行一序列的简约而简化成简约字:

 

结果不依赖于进行简约的次序。

如果 S 是任何集合, S 上的自由群是带有展示   的群。就是说,在 S 上的自由群是 S 的元素在没有额外的关系下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的写为 S 形成的简约字。

一个字是循环简约的,当且仅当字的所有循环置换是简约的。

规范形式

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带有生成集合 S 的群 G规范形式是对给每个 G 的元素的 S 形成的一个简约字的选择。例如:

  • 字 1, i, j, ij克莱因四元群的规范形式。
  • 字 1, r, r2, ..., rn-1, s, sr, srn-1二面体群 Dihn 的规范形式。
  • S 形成的简约字的集合是 S 上的自由群的规范形式。
  • 形如 xmyn 对于 m,n ∈ Z 的字的集合是循环群x〉和〈y〉的直积的规范形式。

在字上的运算

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两个字的乘积可以通过串接获得:

 

是两个字都是简约的,乘积也可能不是简约的。

字的可以通过反转每个生成元,并对换元素的次序来获得:

 

字和它的逆元的乘积可以简约为空字:

 

可以通过共轭把一个生成元从字的开始处移动到结尾处:

 

字问题

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给定一个群 G 的展示  字问题是一个算法问题,给定 S 中的两个字作为输入,确定它们是否表示 G 的相同元素。字问题是 Max Dehn 在 1911 年提出的三个算法问题之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年证明了存在有限展现的群 G 使得 G 的字问题是不可决定性的(Novikov 1955)。

引用

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  • Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P., Word Processing in Groups, AK Peters, 1992, ISBN 0-867-20244-0 .
  • Novikov, P. S., On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Trudy Mat. Inst. Steklov, 1955, 44: 1–143 (俄语) 
  • Robinson, Derek John Scott. A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94461-3. 
  • Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8. 
  • Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. Combinatorial group theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41158-5. 
  • Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham, Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations, New York: Dover, 2004, ISBN 0-486-43830-9 
  • Stillwell, John. Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97970-0.