数学中,一个 被称作自由群,如果存在 的子集 使得 的任何元素都能唯一地表成由 中元素及其逆元组成之乘积(在此不论平庸的表法,例如 之类);此时也称 为集合 上的自由群,其群结构决定于集合 ,记为 称作一组基底。按照范畴论的观点,自由群也可以抽象地理解为群范畴中的自由对象

由两个元素a, b 生成的自由群的凯莱图

一个相关但略有不同的概念是自由阿贝尔群英语free abelian group

历史

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在1882年,Walther Dyck 在发表于 Mathematische Annalen 的论文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念,但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。

例子

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2个圆环的集束
  • 整数的加法群   是自由群;事实上我们可取  
  • 巴拿赫-塔斯基悖论的论证中用到两个生成元的自由群,以下将予说明。
  • 代数拓扑学中,  个圆环的集束(即:  个只交于一点的圆环,见右图)的基本群  个生成元的自由群。

建构方式

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今将构造集合   上之自由群  ,分解动作如下。

  1. 对任何  ,引入符号  ,称作   的逆元。
  2. 考虑所有由符号   构成的有限字串
  3. 如果一个字串能透过将    替换为空字串而变为另一个字串,则称这两个字串等价;此关系在所有上述字串构成的集合上生成一等价关系,其商集(等价类构成的集合)记作  
  4. 我们可以借着对字串长度作数学归纳法,证明此等价关系相容于字串的接合,即: 。故字串接合在   导出二元运算,并满足交换律。
  5.   及字串接合运算构成一个群,字串   之逆为  。此即所求。

  为空集,则   为平凡群。

泛性质

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上述构造   带有一个自然的集合映射  。这对资料   满足以下泛性质

  为群,  为集合间的映射,则存在唯一的群同态   使得  

事实上我们仅须,也必须设   ;前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。

任两个满足上述泛性质的资料    至多差一个同构,因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例,用范畴论的语言来说,函子  遗忘函子的左伴随函子

性质与定理

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  • 任何群   皆可表为某个自由群的同态像;在上述泛性质中取    的一组生成集,ψ 为包含映射即可。此时   的核   称作关系  称作   的一个展示;若   有限,则称之为有限展示。一个群可以有多种展示,而且不存在判断两个展示给出的群是否同构的算法
  • 如果   有超过一个元素,则   非交换;事实上  中心只有单位元。
  • 任两个自由群   同构的充要条件是   基数相同,此基数称作自由群的

以下是一些相关定理:

  • Jakob Nielsen 与 Otto Schreirer 的定理:自由群的子群也是自由群。若    阶, ,则    阶(在此设   有限)。
  •   为超过一阶的自由群;则对任意可数基数    中都存在   阶的自由子群。

自由群虽然看似是离散的对象,却可藉微分几何拓扑学工具研究,上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例(可运用同伦上纤维的构造证明);这套技术属于几何群论的一支。

自由阿贝尔群

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将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”,遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合   上的自由阿贝尔群可视为自由  -来构造,或取作   的“交换化”:  (换言之,在考虑字串时不计符号顺序)。

塔斯基的问题

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塔斯基在1945年左右提出下述问题:

两个以上生成元的自由群是否有相同的一阶理论?此理论是否可判定

目前已有两个团队独立给出肯定的答案,但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 [1] 的“O8”。

文献

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  • Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 数学评论2293770 
  • W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
  • Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 数学评论2238945 
  • J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))