完整系统

在经典力学里，假若一个系统的所有的约束条件都是完整约束，则称此系统为完整系统（holonomic system）。完整约束以方程表达为

f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0

；

其中， $x_{i}$ 是每一个粒子 $P_{i}$ 之位置， $t$ 是时间。

假若一个约束条件不能够以上述方程表达，则称此约束条件为非完整约束。

假若一个系统有任何约束条件不是完整约束，则称此系统为非完整系统。

转换至广义坐标

完整约束方程只跟位置、时间有关，跟速度无关。完整约束方程可以帮助消除相关的变量。假设变量 $x_{d}$ 是完整约束函数 $f_{i}$ 的一个参数，则可以将 $x_{d}$ 从系统里所有的方程中消除。首先，必须求出 $x_{d}$ 的函数 $g_{i}$ ：

x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)

。

将函数 $g_{i}$ 代入系统里所有提到 $x_{d}$ 的方程，就可以消除相关变量 $x_{d}$ 。

假设一个物理系统原本的自由度是 $N$ 。现在，新设定 $h$ 个完整约束作用于此系统。那么，这系统的自由度减少为 $m=N-h$ 。可以使用 $m$ 个独立广义坐标 $(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})$ 来描述这系统的运动。广义坐标的转换方程为

x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N

。

微分形式

有些时候，一个物理系统的某约束条件会以微分形式的方程来表示，而不是以上述函数形式。思考第 $i$ 个约束条件的微分形式的方程：

\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0

；

其中， $c_{ij}$ ， $c_{i}$ 分别为微分 $dq_{j}$ 与 $dt$ 的系数。

假若此约束方程是可积分的，也就是说，存在有一个函数 $f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0$ 的全微分满足相等关系式

df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0

，

则此约束条件是完整约束；否则，此约束条件是非完整约束。请注意到，所有的完整约束和某些非完整约束都可以表示为微分形式的方程；但是，并不是所有的非完整约束都可以这样表示。跟广义速度有关的非完整约束就不能这样表示。所以，假若知道一个约束条件的微分形式的方程，这约束条件到底是完整约束，还是非完整约束，需要看其微分形式的方程是否可积分来决定。