实闭域

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数学中,实闭域实封闭域是一类有序域,使得其中每个正元素皆可表为平方,且任何奇数次多项式都有根。以下将给出几种等价的定义。

定义

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形式实域

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假设所论之域的特征数皆为零。若在一个域 中, 无法写成平方和(表法: ),则称 形式实的。

每个有序域都是形式实域;形式实的定义本身不涉及序结构,但借由实闭包的存在性可证明每个形式实域皆带序结构。

实封闭域

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一个实封闭域 若满足下列等价条件,则称之实封闭域

  •  上存在一个序结构,使得其中每个正元素皆可表为平方,且任何奇数次多项式都有根。
  •  上存在一个序结构,使之满足中间值定理
  • 对任意 ,或者 或者 ;且任何奇数次多项式都有根。
  •  非代数封闭,而 代数封闭。
  •   是形式实的,则 

我们可以纯以代数性质定义实封闭域,并由 得到唯一的序结构。

实闭包

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对任何形式实域 ,都存在代数扩张 ,使得 是实封闭的。我们称  的一个实闭包。实闭包并不唯一。

若在 上固定一个序结构,并要求 的序结构与之相容;则此时实闭包 存在并唯一,且 

例子

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  • 实数 
  •  ;它是 的实闭包。
  • 可计算数
  • Puiseux级数

模型论观点

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实封闭域的研究首先由数学家展开,随后引起了逻辑学家的兴趣。采用形式语言 ,设 为实封闭域(带序结构)的 -一阶理论塔斯基证明了 上有量词消去;因此任两个 模型都是初等等价的。一方面,我们可运用 上的特有工具(微积分、拓扑等等)证明一般实封闭域上的一阶句子;另一方面,则可透过适当的域扩张解决 上的问题,后一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 对希尔伯特第十七问题的证明。

如果改采形式语言 ,并取实封闭域的代数定义 ,此时则无法消去量词(在 中考虑公式 )。

 是实封闭域,换言之 ,根据 上的量词消去, 上的可定义集只是有限多个线段与孤立点的并集。此性质称作O-极小性,它较量词消去为弱,却是研究 上可定义集的几何构造之关键。

量词消去也蕴含 的可判定性,然而塔斯基给出的算法复杂度过高,并不实用。

若承认广义连续统假设,则可进一步以超积描述实封闭域的性状。

文献

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  • Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
  • H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
  • Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本页面存档备份,存于互联网档案馆)); 亦见 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
  • Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在线版本)
  • Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943