对数表

对数表指计算出从1开始各整数的对数（现在一般用常用对数），所编排成的表格。

应用编辑

根据对数运算的基本公式，可知 $\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ 且 $\!\,\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$ （b＞0），知道两大数的对数可很快计算出两数的积和商。

用法编辑

查表（取得对数值）编辑

一般常见的常用对数表（“常用”指以10为底）只提供log 1.000至log 9.999的值，不在此范围内的数字须先行处理，以下用取得1055的对数值（求得log 1055）作说明。

将数字转换为科学记号表示法，如1055＝1.055×10³，其中只有1.055是对数表能直接处理的部分，而10³的部分可直接得到log 10³＝3。
将1.055分为三部分依序查表：1.0（找寻10，对数表格常故意省略小数点）、0.05（小数点后第二位）、0.005（小数点后第三位）。
1. 在对数表中的行找到10（即1.0）、字段为5（即0.05）的值，得到0212，对数表中所有对数值都须乘以10⁻⁴才是真正值，0212代表0.0212。须注意此步骤只得到log 1.05＝0.0212，小数点后第三位还没有处理（需有表尾差或计算线性内插）。
2. 如对数表附有表尾差（或称比例部分），则可进一步处理0.005的部分，在表尾差中找寻字段5，得到21（表示前一步骤所得的0.0212需要再修正增加0.0021），得到log 1.055＝0.0212＋0.0021＝0.0233。注意表尾差的值需再乘以10⁻⁴才是真正值。
3. 如对数表没有表尾差，则可用线性内插法求得。1.05＜1.055＜1.06，尚需另外查表log 1.06＝0.0253，解方程式： ${\frac {1.055-1.05}{1.06-1.05}}={\frac {x-\log {1.05}}{\log {1.06}-\log {1.05}}}={\frac {x-0.0212}{0.0253-0.0212}}$ 可得 $\log {1.055}=x=0.02325$ 。
总和上述结果，得到 $\log {1055}=\log {(1.055\times 10^{3})}=\log {1.055}+\log {10^{3}}=0.0233+3=3.0233$ 。

反查表（反求指数函数值）编辑

对数表提供查取对数值，故反向操作由对数值取得真数，则可得其反函数值，即求得指数函数值。但常见的对数表只提供log 1.000至log 9.999的值，查表得到的对数值范围局限在0.0000至1.0000间，只有小数的部分可以处理，至于整数部分则直接转换为10的次方数，以下用6.9628为例作说明，此反查的过程相当于计算10^6.9628。

将6.9628拆解为整数6与小数0.9628两个部分，以下针对0.9628查表，整数6代表10⁶。
找寻表格中数字为9628，因对数函数为单调递增函数，故只要由左而右、从上至下便可依序寻得，对照行的标示值91（得9.1）、与字段标示值8（0.08），得到10^0.9628＝9.1＋0.08＝9.18。
总和上述结果，得到10^6.9628＝10⁶×9.18＝9180000。

应用范例：乘法编辑

首先假设要计算1055×8712。
将两数分别取其对数，经查表可得log 1055＝3.0233，log 8712＝3.9395。
再将两对数值相加，得6.9628。
由对数表反查得到10^6.9628＝9180000。
比较：直接计算1055×8712＝9191160，由对数表查表所得误差约−0.1%，由于一般常见的对数表只提供4位有效数字，故利用对数表作乘法运算时虽然只能确保结果的数量级（本例中为10⁶）以及前几位数字的准确，但是可以快速提供大数的乘法。

早期建立法编辑

最初，建立对数表必须先有小数指数表。

比如要建立真数精确到千分位而对数精确到万分位的对数表，首先得估计 $\!\,\log(1.001)$ 的值。

首先查出 $10^{0.0004}=1.000921$ 而 $10^{0.0005}=1.001151$ ，再算出两者与真数的差：前者为0.000079，后者为0.000151，显然对数值取为0.0004更恰当。

以此类推，分别算出 $\!\,\log(1.002)$ 、 $\!\,\log(1.003)$ ……最后就成了对数表。

现代建立法编辑

现代对数表用对数函数的泰勒级数来制作。由于 $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]$ ，因此 $\ln(1.001)=0.001-{\frac {0.001^{2}}{2}}+{\frac {0.001^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}0.001^{n}+\cdots \approx 0.0010$ ，同样的，分别算出 $\!\,\ln(1.002)$ 、 $\!\,\ln(1.003)$ ……，就能造出以自然对数 $e$ 为底数的对数表，然后再用换底公式就可以造出以10为底数的对数表。