布朗面分形高程函数形成的分形面。[1][2][3]

三维布朗面的一种实现

布朗面得名于布朗运动

示例

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以三维情形为例,给出两个变量XY为坐标,任意两点(x1y1)、(x2y2)之间的高程函数可置为具有随(x1y1)、(x2y2)的向量距离增加而增加的平均值或期望值[1]不过,定义高程函数的方法有很多。例如,可以使用分数布朗运动变量,也可以使用各种旋转函数来获得看起来更自然的曲面。[2]

分数布朗面的生成

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高效地生成分数布朗面是一项重大挑战。[4]由于布朗面代表了具有非稳协方差函数的高斯过程,可以用科列斯基分解法。更有效的是Stein法,[5]使用循环嵌入法生成辅助的稳态高斯过程,然后调整之,以得到所需的非稳态过程。下图显示了粗糙度或赫斯特指数不同时,3种典型实现的分数布朗面。赫斯特参数始终介于0和1之间,越接近1表面越光滑。这些曲面是用Stein法的Matlab实现页面存档备份,存于互联网档案馆)的。

 
不同赫斯特参数值下的分数布朗面。参数越大,曲面越平滑。

另见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Russ, John C. Fractal surfaces, Volume 1. 1994: 167. ISBN 0-306-44702-9. 
  2. ^ 2.0 2.1 Xie, Heping. Fractals in rock mechanics. 1993: 73. ISBN 90-5410-133-4. 
  3. ^ Vicsek, Tamás. Fractal growth phenomena. 1992: 40. ISBN 981-02-0668-2. 
  4. ^ Kroese, D.P.; Botev, Z.I. Spatial Process Generation. Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. 2015: 369–404. Bibcode:2013arXiv1308.0399K. arXiv:1308.0399 . doi:10.1007/978-3-319-10064-7_12. 
  5. ^ Stein, M. L. Fast and exact simulation of fractional Brownian motion. Journal of Computational and Graphical Statistics. 2002, 11 (3): 587–599. S2CID 121718378. doi:10.1198/106186002466.