刻画维纳过程
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一维维纳过程的性质
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基本性质
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对任意的正实数t {\displaystyle t} ,一维维纳过程在t {\displaystyle t} 时刻是一个随机变量,它的概率密度函数 是:f W t ( x ) = 1 2 π t e − x 2 / 2 t . {\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/{2t}}.}
这是因为按照维纳过程的定义,当s = 0 {\displaystyle s=0} 时,可以推出W t {\displaystyle W_{t}} 的分布:
W t = W t − W 0 ∼ N ( 0 , t ) . {\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim {\mathcal {N}}(0,t).} 它的数学期望是零:E ( W t ) = 0. {\displaystyle \mathbb {E} (W_{t})=0.}
它的方差 是t {\displaystyle t} :Var ( W t ) = E ( W t 2 ) − E 2 ( W t ) = E ( W t 2 ) − 0 = E ( W t 2 ) = t . {\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=\mathbb {E} (W_{t}^{2})-\mathbb {E} ^{2}(W_{t})=\mathbb {E} (W_{t}^{2})-0=\mathbb {E} (W_{t}^{2})=t.}
在维纳过程的独立增量定义中,令t 2 = t {\displaystyle t_{2}=t} ,s 2 = t 1 = s < t {\displaystyle s_{2}=t_{1}=s<t} ,s 1 = 0 {\displaystyle s_{1}=0} ,那么W s = W t 1 − W s 1 ∼ N ( 0 , s ) {\displaystyle W_{s}=W_{t_{1}}-W_{s_{1}}\sim {\mathcal {N}}(0,s)} 和W t − W s = W t 2 − W s 2 ∼ N ( 0 , t − s ) {\displaystyle W_{t}-W_{s}=W_{t_{2}}-W_{s_{2}}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)} 是相互独立的随机变量,并且
cov ( W s , W t ) = E [ ( W s − E ( W s ) ) ⋅ ( W t − E ( W t ) ) ] = E ( W s ⋅ W t ) = E [ W s ( W t − W s ) ] + E ( W s 2 ) = E ( W s ) E ( W t − W s ) + s = s . {\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\mathbb {E} \left[(W_{s}-\mathbb {E} (W_{s}))\cdot (W_{t}-\mathbb {E} (W_{t}))\right]=\mathbb {E} (W_{s}\cdot W_{t})=\mathbb {E} [W_{s}\left(W_{t}-W_{s}\right)]+\mathbb {E} (W_{s}^{2})=\mathbb {E} (W_{s})\mathbb {E} \left(W_{t}-W_{s}\right)+s=s\ \ .} 所以两个不同时刻0 ⩽ s , t {\displaystyle 0\leqslant s,t} ,W t {\displaystyle W_{t}} 与W s {\displaystyle W_{s}} 的协方差 和相关系数 是:
cov ( W s , W t ) = min ( s , t ) , corr ( W s , W t ) = c o v ( W s , W t ) σ W s σ W t = min ( s , t ) s t = min ( s , t ) max ( s , t ) . {\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)\,,\qquad \quad \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\mathrm {cov} (W_{s},W_{t}) \over \sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}\,.} 即时最值
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维纳过程中的即时最大值M t = max 0 ≤ s ≤ t W s {\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}} 与W t {\displaystyle W_{t}} 的联合概率分布是:
f M t , W t ( m , w ) = 2 ( 2 m − w ) t 2 π t e − ( 2 m − w ) 2 2 t , m ≥ 0 , w ≤ m {\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},m\geq 0,w\leq m} 而即时最大值的分布f M t {\displaystyle f_{M_{t}}} 是对− ∞ < w ≤ m {\displaystyle -\infty <w\leq m} 的积分:
f M t ( m ) = ∫ − ∞ m f M t , W t ( m , w ) d w = ∫ − ∞ m 2 ( 2 m − w ) t 2 π t e − ( 2 m − w ) 2 2 t d w = 2 π t e − m 2 2 t {\displaystyle f_{M_{t}}(m)=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{\frac {-m^{2}}{2t}}} 即时最大值的数学期望是[3] :114 :
E M t = ∫ 0 ∞ m f M t ( m ) d m = ∫ 0 ∞ m 2 π t e − m 2 2 t d m = 2 t π . {\displaystyle \mathbb {E} M_{t}=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{\frac {-m^{2}}{2t}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}.} 由于维纳过程上下对称,即时最小值显然是即时最大值的相反数 。
对称性质
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将一个维纳过程不断按比例展开,它的一部分就会呈现另一个维纳过程的样子 尺度不变性:对任意的正实数α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ,随机过程( V t ) t ⩾ 0 : V t = 1 α W α t {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}W_{\alpha t}} 都仍然是一个维纳过程。
时间反转:对任意的正实数T > 0 {\displaystyle T>0} ,随机过程( V t ) 0 ⩽ t ⩽ T : V t = W T − W T − t {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{0\leqslant t\leqslant T}:\,\,V_{t}=W_{T}-W_{T-t}} 和( W t ) 0 ⩽ t ⩽ T {\displaystyle \left(W_{t}\right)_{0\leqslant t\leqslant T}} 性质相同。
空间对称:随机过程( V t ) t ⩾ 0 : V t = − W t {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}=-W_{t}} 也是一个维纳过程。
时间反演:随机过程( V t ) t ⩾ 0 : V 0 = 0 , ∀ t > 0 , V t = t W 1 t {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{0}=0,\,\,\forall t>0,\,\,V_{t}=tW_{\frac {1}{t}}} 也是一个维纳过程。 参考资料:[2] :13 、[4] :44
时间平移不变性和马尔可夫性质
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维纳过程具有马尔可夫性质 ,也就是说,在任意一点之后的走势仅仅和这一点的取值相关,而与之前的取值无关。也就是说,对任何的有界连续函数ϕ {\displaystyle \phi } ,
E [ ϕ ( W s , s ⩾ t ) | F t ] = E [ ϕ ( W s , s ⩾ t ) | W t ] {\displaystyle \mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant t)|{\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant t)|W_{t}]} 因此维纳过程具有时间平移不变性:随机过程( V t ) t ⩾ 0 : V t = W t 0 + t − W t 0 {\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}=W_{t_{0}+t}-W_{t_{0}}} 也是一个维纳过程。不仅如此,维纳过程还满足强马尔可夫性质:对任意的有限停时 τ {\displaystyle \tau } ,随机变量B t = W τ + t − W τ {\displaystyle B_{t}=W_{\tau +t}-W_{\tau }} 独立于滤波F τ {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }} 。也就是说,对任何的有界连续函数ϕ {\displaystyle \phi } ,
E [ ϕ ( W s , s ⩾ τ ) | F τ ] = E [ ϕ ( W s , s ⩾ τ ) | W τ ] . {\displaystyle \mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant \tau )|{\mathcal {F}}_{\tau }]=\mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant \tau )|W_{\tau }].} 维纳过程的强马尔可夫性质,说明即便给定的时间不是定时而是一个停时,维纳过程在停时之后的走势仍然与之前无关。所以,将停时之后的维纳过程上下反转,仍然会是一个维纳过程。用数学语言来说,就是:给定一个停时τ {\displaystyle \tau } 之后,随机变量:B t = W t 1 t ⩽ τ + ( 2 W τ − W t ) 1 t > τ {\displaystyle B_{t}=W_{t}\mathbf {1} _{t\leqslant \tau }+\left(2W_{\tau }-W_{t}\right)\mathbf {1} _{t>\tau }} 也是一个维纳过程。这个性质也称为维纳过程的反射原理。
作为推论,可以建立即时最大值M t = max 0 ≤ s ≤ t W s {\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}} 与W t {\displaystyle W_{t}} 的另一种关系。设有正实数a > 0 {\displaystyle a>0} 停时τ a = inf { t > 0 , W t > a } {\displaystyle \tau _{a}=\inf\{t>0,\,W_{t}>a\}} ,那么{ τ a ⩽ t } = { M t ⩾ a } {\displaystyle \{\tau _{a}\leqslant t\}=\{M_{t}\geqslant a\}} 。运用反射原理可以证明,P ( M t ⩾ a ) = 2 P ( W t ⩾ a ) = P ( | W t | ⩾ a ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(M_{t}\geqslant a\right)=2\mathbb {P} \left(W_{t}\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(|W_{t}|\geqslant a\right)} 。更一般地,设有 a > b ⩾ 0 {\displaystyle a>b\geqslant 0} ,则P ( W t ⩽ b , M t ⩾ a ) = P ( W t ⩾ 2 a − b ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(W_{t}\leqslant b,\,M_{t}\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(W_{t}\geqslant 2a-b\right)} 。
参考来源
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^ (英文) Rick Durrett. Probability: theory and examples ,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390 .
^ 2.0 2.1 2.2 (英文) Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion . Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188 .
^ (英文) Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous Time Models . Springer. 2008. ISBN 978-0-387-40101-0 .
^ Nizar Touzi, Peter Tankov. Calcul Stochastique en Finance . Les Éditions de l'École Polytechnique. 2010.
Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ))
Stark,Henry, John W. Woods , Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing , 3rd edition, Prentice Hall (New Jersey, 2002); Textbook ISBN 0-13-020071-9
Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion , second edition, Springer-Verlag 1994.