幺半范畴
(重定向自幺半範疇)
张量范畴(tensor category),或曰幺半范畴(monoidal category), 直觉地讲,是个配上张量积的阿贝尔范畴(abelian category),可当作环的范畴化。
定义
编辑数学中,一个张量范畴(tensor category,或称幺半范畴 monoidal category)是一个包含单一个对象的双范畴)bicategory)。 更具体的描述:一个张量范畴是
- 一个范畴 ;
- 被赋予张量积,即一个二元函子
- ;
- 被赋予一个单位对象 ;
- 被赋予三组自然同构映射:
- 结合子 : ;
- 左/右单位子: 自然同构映射 , :
- ,
- ;
- 满足以下相容条件:
在这以上两道相容条件下,任何以结合子,左右单位子和张量积组成的图表都交换,因为 Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每个幺半范畴都 幺半等价(monoidally equivalent) 于一严格幺半范畴(见下).
严格幺半范畴
编辑严格幺半范畴(strict monoidal category) 是个幺半范畴 ,其自然态射 , 和 都是恒等影射.
取任一 范畴 , 我们可构筑其 自由严格幺半范畴 :
- 对象:其每一对象是一串由 里面的对象组成之有限序列 );
- 态射:当且仅当 时,我们在二个对象 和 之间定义 态射:每 -态射 是一串由 -态射组成的有限序列 ;
- 张量积: 二个 -对象 及 之张量积, 我们定义为 此二有限序列之串接(concatenation) ; 同样地任何二 -态射之张量积, 我们定义为其串接。
按:此算符 ,向由任一 范畴 配上 ,可推广到 上的严格-2-单子 (strict 2-monad)。
例
编辑取任一范畴,若以其平常范畴积作张量积,以其终对象作单位对象,则成为一个张量范畴。 亦可取任一范畴,以其余积(co-product)作张量积,以其始对象作单位对象,亦成一个张量范畴。 (此二例实为对称幺半范畴结构。) 但亦有许多张量范畴(例如: -Mod,如下),其张量积 既非 范畴积 亦非 范畴余积。
以下举张量范畴二例——向量空间范畴和集合范畴——并表明其类比:
-Mod | Set |
---|---|
取任一域 或交换环 , 各 -模 所成之 范畴 -模 (若R 为一域, 则 R-模即 R-向量空间) 是一 对称幺半范畴;其张量积 ⊗ 与单位对象为: . | 范畴 集 为一对称幺半范畴赋有张量积 × 与单位对象 {*}. |
单元结合代数为 -模之 一对象,赋上态射 与 并满足以下条件: | A 幺半群 为一对象 M ,配上态射 与
并满足 |
and | 与 |
. | . |
A 余代数(coalgebra) 是一个 对象 C ,被赋予 态射
和 并满足以下条件: |
集内每一对象(即每一集合)S, 都被赋予 态射
和 满足以下条件: |
and | and |
. | . |
此 ε 是唯一的,因为 (即一元集合)是个终对象. |
相关的结构
编辑应用
编辑参考
编辑- Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
- Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
- Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
- Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
- Baez, John, Definitions (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- : <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works (页面存档备份,存于互联网档案馆)