环(Ring)是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算(记作“”和“”,常被简称为加法和乘法,但与一般所说的实数加法和乘法不同)所构成的,符合一些性质(具体见下)的代数结构。
环的定义类似于交换群,只不过在原来“+”的基础上又增添另一种运算“⋅”(注意我们这里所说的“+”与“⋅”一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法)。在抽象代数中,研究环的分支为环论。
为集合, 和 为定义于其上的二元运算(一种二变量函数)。以下依照二元运算的惯例,将运算结果 和 分别简记为 和 。
被称为环,若它满足:
- 为交换群 ,即:
- 结合律:对所有的 有
- 单位元:存在 ,对所有的 有 (可由上面的性质证明这样的 是唯一的, 这样的 称为加法单位元)
- 逆元:对所有的 存在 使 (可以由上面的性质证明这样的 是唯一的,通常简记为 并称为 的加法逆元)
- 交换律:对所有的 有
- 为半群,即:
- 结合律:对所有的 有
- 乘法对于加法满足分配律,即对所有的 有:
-
-
其中 常会被昵称为加法;类似的 会被昵称为乘法,因为取 (实数系), 为普通的实数加法且 为普通的实数乘法的话, 显然为环。而此时加法单位元显然为实数 ,所以有时会偷懒的将一般环的加法单位元 简写为 。
所以惯例上仿造实数乘法把 简写为 ;而且因为实数乘法优先于实数加法,所以也会规定 是 的简写。此外还会仿造实数减法,会把 简写为 。
定义的分歧
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在1960年代以前,多数抽象代数的书籍并不将乘法单位元列入环的定义;有些不要求乘法单位元的作者,会将包含乘法单位元的环称为“单位环”;反之,有些要求乘法单位元的作者,会将不含乘法单位元的环称为“伪环”。
基本性质
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为环,则对所有 有:
I.
证明:
- (单位元)
- (式1等号两边于左侧同乘 )
- (分配律)
- (式2, 式3)
- (式4等号两边于右侧加 )
- (以逆元化简式5)
可调换 和 的顺序, 仿上证明 。
II.
证明:
- (加法交换律、分配律、加法逆元素)
- (上面的性质I)
故 的确是 的加法逆元,仿上可证明 也是 的加法逆元。
环的相关概念
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特殊的环
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- 幺环
- 若环 中, 构成幺半群,即 ,使得 ,有 ,则称 为幺环。此时幺半群 的幺元 ,亦称为环 的幺元。
- 交换环
- 若环 中, 还满足交换律,从而构成交换半群,即 ,有 ,则称 为交换环。
- 无零因子环
- 若 中没有非 的零因子,则称 为无零因子环。
- 此定义等价于以下任何一条:
- 对乘法形成半群;
- 对乘法封闭;
- 中非 元素的乘积非 ;
- 整环
- 无零因子的交换幺环称为整环。
例:整数环,多项式环
- 唯一分解环
- 若整环R中每个非零非可逆元都能唯一分解,称R是唯一分解环.
- 除环
- 若环 是幺环,且 对 上的乘法形成一个群,即 , ,使得 。则称 为除环。
- 除环不一定是交换环。反例:四元数环。
- 交换的除环是体。
- 主理想环
- 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。
- 单环
- 若幺环R中的极大理想是零理想,则称R为单环。
- 商环
- 质环
- 集环:非空集的集合 构成一个环,当且仅当它满足以下几个条件中任何一个:
- 对集合的并和差运算封闭,即:∀E,F∈R ⇒ E∪F∈R,E-F∈R;
- 对集合的交和对称差运算封闭,即:∀E,F∈R ⇒ E∩F∈R,E△F∈R;
- 对集合的交,差以及无交并运算封闭。
- 这样得到的集环以交为乘法,对称差为加法;以空集为零元,并且由于∀E∈R,E∩E=E·E=E,因此它还是布尔环。
- 整数环是一个典型的交换且含单位环。
- 有理数环,实数域,复数域都是交换的含单位元环。
- 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
- n为正整数,所有n×n的实数矩阵构成一个环。
环的理想
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考虑环 ,依环的定义知 是阿贝尔群。集合 ,考虑以下条件:
- 构成 的子群。
- ,有 。
- ,有 。
若 满足条件1、2则称 是 的右理想;若 满足条件1、3则称 是 的左理想;若 满足条件1、2、3,即 既是 的右理想,也是 的左理想,则称 为 的双边理想,简称理想。
- 整数环的理想:整数环 只有形如 的理想。
基本性质
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- 在环中,(左/右/双边)理想的和与交仍然是(左/右/双边)理想。
- 在除环中,(左/右)理想只有平凡(左/右)理想。
- 对于环R的两个理想 、 ,记 。则由定义易知:
- 若 是 的左理想,则 是 的左理想;
- 若 是 的右理想,则 是 的右理想;
- 若 是 的左理想, 是 的右理想,则 是 的双边理想。
相关概念
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- 真(左/右/双边)理想
- 若 的(左/右/双边)理想I满足: 是 的真子集,称 为 的真(左/右/双边)理想。
- 极大(左/右/双边)理想
- 环 及其真(左/右/双边)理想 ,称 为 的极大(左/右/双边)理想,若不存在 的真(左/右/双边)理想 ,使得 是 的真子集。
- 若 是极大(左/右)理想,又是双边理想,则 是极大理想。
- 极大双边理想不一定是极大(左/右)理想。
- 生成理想
- 环 , ,定义 ,则易知:
- 是环 的理想,并且 是 中所有包含子集 的理想的交,即 是 中包含子集 的最小理想。
- 若 为由子集 生成的理想,称 为 的生成元集。当 是有限集时,称 为 的有限生成理想。
- 下面是生成理想的几种特殊情况:
- 当 是交换环时,
- 当 是幺环时,
- 当 是交换幺环时,
- 同一个理想,其生成元集可能不唯一。
- 主理想
- 由环 中单个元素生成的理想称为 的主理想。即,设 ,则 称为 的主理想。
- 素理想
- 真理想 被称为 的素理想,若 理想 ,则 或 。
- 素环
- 若环 的零理想是素理想,则称 是素环或质环。无零因子环是素环。在交换环 中,真理想 是素理想的充分且必要条件是: 是素环.
- 半素理想
- 环 的真理想 ,若 理想 , ,则称 是环 的半素理想。
- 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想,因为素理想是半素理想,但半素理想未必是素理想。
- 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中,如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环,域也是单环。反之则不尽然,即存在不是除环的单环。
- 定理1:在整数环 中,由 生成的主理想是极大理想的充分必要条件是: 是素数。
- 定理2:设 是有单位元 的交换环。理想 是 的极大理想的充分且必要条件是:商环 是域。
- 定理3:设 是环 的左理想,则 是 的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 中的左理想J都有 。
有关环的其它概念
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- 设 是环中的非零元素,如果 ,称 为左零因子;类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。