Ring)是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算(记作“”和“”,常被简称为加法乘法,但与一般所说的实数加法和乘法不同)所构成的,符合一些性质(具体见下)的代数结构。

环的定义类似于交换群,只不过在原来“+”的基础上又增添另一种运算“⋅”(注意我们这里所说的“+”与“⋅”一般不是我们所熟知的四则运算加法乘法)。在抽象代数中,研究的分支为环论

定义 编辑

  为集合,    为定义于其上的二元运算(一种二变量函数)。以下依照二元运算的惯例,将运算结果    分别简记为   

  被称为,若它满足:

  1.  交换群 ,即:
    • 结合律:对所有的   
    • 单位元:存在   ,对所有的    (可由上面的性质证明这样的   是唯一的, 这样的   称为加法单位元
    • 逆元:对所有的   存在   使   (可以由上面的性质证明这样的   是唯一的,通常简记为   并称为  加法逆元)
    • 交换律:对所有的   
  2.  半群,即:
    • 结合律:对所有的   
  3. 乘法对于加法满足分配律,即对所有的   有:
    •  
    •  

其中   常会被昵称为加法;类似的   会被昵称为乘法,因为取  实数系),   为普通的实数加法且   为普通的实数乘法的话, 显然为环。而此时加法单位元显然为实数   ,所以有时会偷懒的将一般环的加法单位元   简写为  

所以惯例上仿造实数乘法把   简写为   ;而且因为实数乘法优先于实数加法,所以也会规定    的简写。此外还会仿造实数减法,会把   简写为  

定义的分歧 编辑

在1960年代以前,多数抽象代数的书籍并不将乘法单位元列入环的定义;有些不要求乘法单位元的作者,会将包含乘法单位元的环称为“单位环”;反之,有些要求乘法单位元的作者,会将不含乘法单位元的环称为“伪环”。

基本性质 编辑

  为环,则对所有   有:

I.  

证明:

  1.  (单位元)
  2.  (式1等号两边于左侧同乘  
  3.  (分配律)
  4.  (式2, 式3)
  5.  (式4等号两边于右侧加  
  6.  (以逆元化简式5)

可调换    的顺序, 仿上证明   

II.  

证明:

  1.   (加法交换律、分配律、加法逆元素)
  2.   (上面的性质I)

  的确是   的加法逆元,仿上可证明   也是   的加法逆元。  

环的相关概念 编辑

特殊的环 编辑

幺环
若环 中, 构成幺半群, ,使得 ,有 ,则称 幺环。此时幺半群 的幺元 ,亦称为环 的幺元。
交换环
若环 中, 还满足交换律,从而构成交换半群,即 ,有 ,则称 交换环
无零因子环
 中没有非 的零因子,则称 无零因子环
  • 此定义等价于以下任何一条:
    •  对乘法形成半群;
    •  对乘法封闭;
    •  中非 元素的乘积非 
整环
无零因子的交换幺环称为整环

例:整数环,多项式环

唯一分解环
若整环R中每个非零非可逆元都能唯一分解,称R是唯一分解环.
除环
若环 是幺环,且  上的乘法形成一个,即  ,使得 。则称 除环
  • 除环不一定是交换环。反例:四元数环。
  • 交换的除环是
主理想环
每个理想都是主理想的整环称为主理想环
单环
若幺环R中的极大理想是零理想,则称R为单环
商环
质环

例子 编辑

  • 集环:非空集的集合 构成一个环,当且仅当它满足以下几个条件中任何一个:
    •  对集合的并和差运算封闭,即:∀E,F∈R ⇒ E∪F∈R,E-F∈R;
    •  对集合的交和对称差运算封闭,即:∀E,F∈R ⇒ E∩F∈R,E△F∈R;
    •  对集合的交,差以及无交并运算封闭。
这样得到的集环以交为乘法,对称差为加法;以空集为零元,并且由于∀E∈R,E∩E=E·E=E,因此它还是布尔环

环的理想 编辑

考虑环 ,依环的定义知 阿贝尔群。集合 ,考虑以下条件:

  1.  构成 的子群。
  2.  ,有 
  3.  ,有 

 满足条件1、2则称  右理想;若 满足条件1、3则称  左理想;若 满足条件1、2、3,即 既是 的右理想,也是 的左理想,则称  双边理想,简称理想

示例 编辑

  • 整数环的理想:整数环 只有形如 的理想。

基本性质 编辑

  • 在环中,(左/右/双边)理想的和与交仍然是(左/右/双边)理想。
  • 在除环中,(左/右)理想只有平凡(左/右)理想。
  • 对于环R的两个理想  ,记 。则由定义易知:
    1.   的左理想,则  的左理想;
    2.   的右理想,则  的右理想;
    3.   的左理想,  的右理想,则  的双边理想。

相关概念 编辑

真(左/右/双边)理想
 的(左/右/双边)理想I满足:  真子集,称  真(左/右/双边)理想
极大(左/右/双边)理想
 及其真(左/右/双边)理想 ,称  的极大(左/右/双边)理想,若不存在 的真(左/右/双边)理想 ,使得  真子集
  •  是极大(左/右)理想,又是双边理想,则 是极大理想。
  • 极大双边理想不一定是极大(左/右)理想。
生成理想
  ,定义 ,则易知:
  •  是环 的理想,并且  中所有包含子集 的理想的交,即  中包含子集 的最小理想。
 由子集 生成的理想,称  生成元集。当 是有限集时,称  有限生成理想
  • 下面是生成理想的几种特殊情况:
    1.  是交换环时, 
    2.  是幺环时, 
    3.  是交换幺环时, 
  • 同一个理想,其生成元集可能不唯一。
主理想
由环 中单个元素生成的理想称为 主理想。即,设 ,则 称为 的主理想。
素理想
真理想 被称为 的素理想,若 理想 ,则  
素环
若环 的零理想是素理想,则称 是素环或质环。无零因子环是素环。在交换环 中,真理想 是素理想的充分且必要条件是: 是素环.
半素理想
 的真理想 ,若 理想  ,则称 是环 半素理想
  • 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想,因为素理想是半素理想,但半素理想未必是素理想。
  • 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中,如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环,域也是单环。反之则不尽然,即存在不是除环的单环。
  • 定理1:在整数环 中,由 生成的主理想是极大理想的充分必要条件是: 是素数。
  • 定理2:设 是有单位元 的交换环。理想  的极大理想的充分且必要条件是:商环 是域。
  • 定理3:设 是环 的左理想,则  的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 中的左理想J都有 

有关环的其它概念 编辑

  • 零因子 (zero divisor):
 是环中的非零元素,如果 ,称 为左零因子;类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。