环 (代数)
环(英文:Ring)是一种带有两个二元运算(抽象化的“加法”和“乘法”)、并且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象,并且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。
环的具体定义并没有完全统一。不同研究方向的学者对于环是否要有乘法单位元有不同见解,在部分情况下甚至不要求乘法有结合律。然而除非明确声明,否则本条目所称的“环”是指有乘法单位元、乘法有结合律的环。
定义
编辑给定一个集合 以及两个定义在 上的二元运算 和 [注 1]。如果 、 和 具有以下八个性质[注 2],则称 [注 3]构成了一个环。
环的乘法经常依照惯例[注 5],不会写出“ ”这个符号。例如(左)分配律就可以写成: 此外,加法单位元也经常称为“零元素”或直接简称为“零”。
定义的分歧
编辑环的定义的分歧通常在于是否要求乘法单位元的存在。在 1960 年代以前,多数抽象代数的教科书通常会采用埃米·诺特的定义,不要求乘法单位元存在。然而在 1960 年后,越来越多的著名教科书作者(例如:尼古拉·布尔巴基、大卫·艾森布德、塞尔日·兰)开始将乘法单位元的存在性纳入定义中。不要求乘法单位元存在的作者,通常会将有乘法单位元的环称为单位环( unital ring );反之,要求乘法单位元存在的作者,可能会将不含乘法单位元( identity )的环( ring )称为 rng [注 6]或伪环( pseudo-ring ),或甚至干脆不提及任何没有单位元的环。
另外在交换代数的文献中,通常还会额外约定环的乘法要满足交换律。这类文献的作者通常会事先声明。
例子
编辑- 整数 、有理数 、实数 和复数 ,连同寻常的加法和乘法,构成了一个环。它们的加法单位元是 ,乘法单位元是 ,是最典型的实际例子。
- 整系数多项式环 、有理系数多项式环 ,实系数多项式环 、复系数多项式环 ,连同多项式加法和乘法,构成一个环。它们的加法单位元也是 ,乘法单位元也是 。更一般地,可以考虑任何环 的多项式环 。
- 整系数有理函数 、有理系数有理函数 ,实系数有理函数 、复系数有理函数 ,连同有理函数的加法和乘法,构成一个环。它们的加法单位元依然是 ,乘法单位元依然是 。更一般地,可以考虑任何环 的有理函数环 ;而“建构分式”的操作还是“分式体”以及更一般的“局部化”这些概念的起源。
- 大小为 的整系数矩阵 、有理系数矩阵 、实系数矩阵 、或复系数矩阵 ,连同矩阵加法和矩阵乘法,构成一个环。它们的加法单位元是零矩阵 : 乘法单位元则是单位矩阵 : 同样的,可以考虑任何环 的矩阵环 。矩阵环也是典型的非交换环。
- 如果集合 只有一个元素,那 只可能定义出唯一的一种环结构——零环[注 7]( Zero ring )。
基本性质
编辑- 零元素是唯一的
- 零乘以[注 8]任何东西都是零
- 乘法单位元是唯一的
- 任何元素如果有乘法反元素,那是唯一的
- 多个环元素的分配律:
- 环元素的整数倍与整数次方——整数可以用来当作是任何环的系数,只要定义以下的系数运算规则: 这种系数运算规则和普通系数的概念有许多一致性,例如:
- 而类似地如果把多次相加改成多次相乘,那么可以[注 9]定义幂运算:
- 二项式展开——如果 ,那么它们总和的次方可以这样计算: 这可以推广到多个元素 总和的次方——如果任两个元素的 和 的乘法都可以交换(即 ),那么:
基本的相关概念
编辑特殊的环元素
编辑在初等环论中,以下四类型的环元素在任意的环[注 10]中都有定义,它们是经常被讨论的对象:
- 可逆元( Unit 或 Invertible element ):有乘法反元素的环元素。
- 零因子( Zero divisor ):相乘后为零的非零元素;相当于“零的因数”。
- 幂零元( Nilpotent ):自乘多次后变成零的环元素。
- 幂等元( Idempotent ):自乘任意多次都不变的环元素。
环同态、核、像
编辑在环论中,环同态描述了环与环之间的关系。一个从环 送往环 的环同态( Ring homomorphism ) 简单来说是一种“维持环结构[注 11]”的映射;而具体来说, 要具有以下三个性质:
- 维持加法的结构——对所有的 ,都有:
- 维持乘法的结构——对所有的 ,都有:
- 维持单位元的结构——也就是:
对一个环同态 来说,有以下两个密切相关的概念:
- 核( Kernel )——送到零元素的那些元素:
- 像( Image )——把元素都送过去后的结果:
子环、(双边)理想、商环
编辑给定一个环 ,我们可以考虑它的:
- 子环( Subring )——某个送往 的环同态在 内的像。[注 12]
- 双边理想( Two side ideal )——某个定义在 上的环同态的核。
- 商环( Quotient )——(同构意义下)某个定义在 上的环同态的像。[注 13]
一个环的环同态、子环、双边理想、商环共同刻划了环的结构。
具有额外性质的环
编辑交换环( commutative ring )
编辑如果一个环 还额外满足:
- 乘法的交换律:对于所有 :
则称 是一个交换环。交换环是最被深入研究的一类环,其中包括以下几类:
- 整环( Integral domain ):没有零因子的交换环。
- 唯一分解整环( Unique factorization domain ):可以唯一分解任何元素的整环。
- 主理想整环( Principal ideal domain ):所有理想都是主理想的整环。
- 欧几里得整环( Euclidean domain ):可以进行欧几里得算法(辗转相除法)的整环。
- 体( Field ):非零元素都有乘法反元素的交换环。
- 代数闭体( Algebraically closed field ):所有多项式[注 14]都有根的体。
非交换环
编辑所谓的非交换环实际上是指“不假设是交换环”的环,这样子的环有:
- 除环( Division ring ):非零元素都有乘法反元素的环(可能不交换)。
- 单环( Simple ring ):没有非平凡双边理想的环。
从已知的环建构出其他环的方式
编辑直积
编辑给定数个环 ,可以考虑这些环作为集合的笛卡尔积:
可以在这个集合上用以下方式定义加法和乘法:
这使得 构成一个环。称为 的直积( Direct product );它的法单位元是 乘法单位元是
这种概念可以推广到无限多个环、甚至不可数多个环的直积。
多项式环
编辑给定一个环 ,可以考虑以这个环作为系数的多项式: 可以仿照一般的实系数多项式运算规则,为这个集合定义加法和乘法: 在这样的运算规则下, 被称为是 的多项式环;它的加法单位元以及乘法单位元与 相同。
矩阵环
编辑给定一个环 ,可以考虑以这个环作为系数、大小为 的矩阵:
同样可以仿照一般的矩阵运算规则,为这个集合定义加法和乘法:
那么 在这样的运算规则下,构成一个环。它的加法单位元是零矩阵 : 乘法单位元则是单位矩阵 : 同样的,可以考虑任何环 的矩阵环 。矩阵环也是典型的非交换环。
局部化与分式体
编辑局部化的概念并不是对任何的环都有效,在大多数时候,只会考虑交换环的局部化。粗略地说,局部化是“加入某些元素的乘法反元素”;而分式体则是透过“加入所有非零元素的乘法反元素”来定义。分式体最著名的例子就是从整数构造有理数的过程。
更抽象地讲,一个环对某些元素的局部化是“使得这些元素可逆的、最小的环”;在这种意义下,分式体就是“使得非零元素可逆的、最小的环”。而这个概念实际上就是——“包含这个环的最小的体”。
交换环与代数几何的关系
编辑交换环是乘法满足交换律的环。这种环和代数几何有着深远的关联性,体现在交换环范畴 和仿射概形范畴 有着如下对偶性:
这种对偶性使得交换环的代数性质可以转换成仿射概形的几何性质。
参见
编辑备注
编辑引用
编辑参考文献
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