环 (代数)

一种抽象化「加法」和「乘法」的代数结构。


(英文:Ring)是一种带有两个二元运算(抽象化的“加法”和“乘法”)、并且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数有理数实数复数多项式矩阵函数算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象,并且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。

环的具体定义并没有完全统一。不同研究方向的学者对于环是否要有乘法单位元有不同见解,在部分情况下甚至不要求乘法有结合律。然而除非明确声明,否则本条目所称的“环”是指有乘法单位元、乘法有结合律的环。

定义

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给定一个集合   以及两个定义在   上的二元运算    [注 1]。如果     具有以下八个性质[注 2],则称   [注 3]构成了一个

  1.   是一个交换群
    • 加法有结合律——对所有的   ,都有: 
    • 加法有交换律——对所有的   ,都有: 
    • 有加法单位元——存在某个[注 4]   ,使得所有的   ,都有:  
    • 有加法反元素——对所有的   ,存在某个[注 4]   ,使得:  
  2.   是一个有单位元的半群
    • 乘法有结合律——对所有的   ,都有:  
    • 有乘法单位元——存在某个[注 4]   ,使得所有的   ,都有: 
  3. 乘法对于加法满足分配律
    • (左)分配律——对所有的   ,都有: 
    • (右)分配律——对所有的   ,都有: 

环的乘法经常依照惯例[注 5],不会写出“   ”这个符号。例如(左)分配律就可以写成: 此外,加法单位元也经常称为“零元素”或直接简称为“零”。

定义的分歧

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环的定义的分歧通常在于是否要求乘法单位元的存在。在 1960 年代以前,多数抽象代数的教科书通常会采用埃米·诺特的定义,不要求乘法单位元存在。然而在 1960 年后,越来越多的著名教科书作者(例如:尼古拉·布尔巴基大卫·艾森布德英语David_Eisenbud塞尔日·兰)开始将乘法单位元的存在性纳入定义中。不要求乘法单位元存在的作者,通常会将有乘法单位元的环称为单位环( unital ring );反之,要求乘法单位元存在的作者,可能会将不含乘法单位元( identity )的环( ring )称为 rng [注 6]伪环( pseudo-ring ),或甚至干脆不提及任何没有单位元的环。

另外在交换代数的文献中,通常还会额外约定环的乘法要满足交换律。这类文献的作者通常会事先声明。

例子

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  • 整数  有理数  实数  复数   ,连同寻常的加法和乘法,构成了一个环。它们的加法单位元是   ,乘法单位元是   ,是最典型的实际例子。
  • 整系数多项式环   、有理系数多项式环   ,实系数多项式环   、复系数多项式环   ,连同多项式加法和乘法,构成一个环。它们的加法单位元也是   ,乘法单位元也是   。更一般地,可以考虑任何环   的多项式环  
  • 整系数有理函数   、有理系数有理函数   ,实系数有理函数   、复系数有理函数   ,连同有理函数的加法和乘法,构成一个环。它们的加法单位元依然是   ,乘法单位元依然是   。更一般地,可以考虑任何环   的有理函数环   ;而“建构分式”的操作还是“分式体”以及更一般的“局部化”这些概念的起源。
  • 大小为   的整系数矩阵   、有理系数矩阵   、实系数矩阵   、或复系数矩阵  ,连同矩阵加法和矩阵乘法,构成一个环。它们的加法单位元是零矩阵 : 乘法单位元则是单位矩阵 : 同样的,可以考虑任何环   的矩阵环   。矩阵环也是典型的非交换环。
  • 如果集合   只有一个元素,那   只可能定义出唯一的一种环结构——零环英语Zero ring[注 7]( Zero ring )。

基本性质

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  • 零元素是唯一的
  • 零乘以[注 8]任何东西都是零
  • 乘法单位元是唯一的
  • 任何元素如果有乘法反元素,那是唯一的
  • 多个环元素的分配律: 
  • 环元素的整数倍与整数次方——整数可以用来当作是任何环的系数,只要定义以下的系数运算规则: 这种系数运算规则和普通系数的概念有许多一致性,例如:
    •  
    •  
    •  
    •  
而类似地如果把多次相加改成多次相乘,那么可以[注 9]定义幂运算: 
  • 二项式展开——如果   ,那么它们总和的次方可以这样计算: 这可以推广到多个元素   总和的次方——如果任两个元素的    的乘法都可以交换(即   ),那么: 

基本的相关概念

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特殊的环元素

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在初等环论中,以下四类型的环元素在任意的环[注 10]中都有定义,它们是经常被讨论的对象:

  • 可逆元( Unit 或 Invertible element ):有乘法反元素的环元素。
  • 零因子( Zero divisor ):相乘后为零的非零元素;相当于“零的因数”。
  • 幂零元( Nilpotent ):自乘多次后变成零的环元素。
  • 幂等元( Idempotent ):自乘任意多次都不变的环元素。

环同态、核、像

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在环论中,环同态描述了环与环之间的关系。一个从环   送往环  环同态( Ring homomorphism )  简单来说是一种“维持环结构[注 11]”的映射;而具体来说,  要具有以下三个性质:

  • 维持加法的结构——对所有的   ,都有: 
  • 维持乘法的结构——对所有的   ,都有: 
  • 维持单位元的结构——也就是: 

对一个环同态   来说,有以下两个密切相关的概念:

  • ( Kernel )——送到零元素的那些元素: 
  • ( Image )——把元素都送过去后的结果: 

子环、(双边)理想、商环

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给定一个环   ,我们可以考虑它的:

  • 子环( Subring )——某个送往   的环同态在  内的像。[注 12]
  • 双边理想( Two side ideal )——某个定义在  上的环同态的核。
  • 商环( Quotient )——(同构意义下)某个定义在  上的环同态的像。[注 13]

一个环的环同态、子环、双边理想、商环共同刻划了环的结构。

具有额外性质的环

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交换环( commutative ring )

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如果一个环   还额外满足:

乘法的交换律:对于所有  
 

则称   是一个交换环。交换环是最被深入研究的一类环,其中包括以下几类:

  • 整环( Integral domain ):没有零因子的交换环。
  • 唯一分解整环( Unique factorization domain ):可以唯一分解任何元素的整环。
  • 主理想整环( Principal ideal domain ):所有理想都是主理想的整环。
  • 欧几里得整环( Euclidean domain ):可以进行欧几里得算法(辗转相除法)的整环。
  • ( Field ):非零元素都有乘法反元素的交换环。
  • 代数闭体( Algebraically closed field ):所有多项式[注 14]都有根的体。

非交换环

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所谓的非交换环实际上是指“不假设是交换环”的环,这样子的环有:

  • 除环( Division ring ):非零元素都有乘法反元素的环(可能不交换)。
  • 单环( Simple ring ):没有非平凡双边理想的环。

从已知的环建构出其他环的方式

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直积

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给定数个环   ,可以考虑这些环作为集合的笛卡尔积

 可以在这个集合上用以下方式定义加法和乘法:

  这使得 构成一个环。称为  直积( Direct product );它的法单位元是   乘法单位元是  

这种概念可以推广到无限多个环、甚至不可数多个环的直积。

多项式环

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给定一个环   ,可以考虑以这个环作为系数的多项式: 可以仿照一般的实系数多项式运算规则,为这个集合定义加法和乘法:  在这样的运算规则下,   被称为是  多项式环;它的加法单位元以及乘法单位元与   相同。

矩阵环

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给定一个环   ,可以考虑以这个环作为系数、大小为   的矩阵:

 同样可以仿照一般的矩阵运算规则,为这个集合定义加法和乘法:

  那么   在这样的运算规则下,构成一个环。它的加法单位元是零矩阵 : 乘法单位元则是单位矩阵 : 同样的,可以考虑任何环   的矩阵环   。矩阵环也是典型的非交换环。

局部化与分式体

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局部化的概念并不是对任何的环都有效,在大多数时候,只会考虑交换环的局部化。粗略地说,局部化是“加入某些元素的乘法反元素”;而分式体则是透过“加入所有非零元素的乘法反元素”来定义。分式体最著名的例子就是从整数构造有理数的过程。

更抽象地讲,一个环对某些元素的局部化是“使得这些元素可逆的、最小的环”;在这种意义下,分式体就是“使得非零元素可逆的、最小的环”。而这个概念实际上就是——“包含这个环的最小的体”。

交换环与代数几何的关系

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交换环是乘法满足交换律的环。这种环和代数几何有着深远的关联性,体现在交换环范畴  仿射概形范畴   有着如下对偶性:

 

这种对偶性使得交换环的代数性质可以转换成仿射概形的几何性质。

参见

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备注

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  1. ^ 分别称为“  的加法”和“  的乘法”
  2. ^ 称为环公理
  3. ^ 意思是  连同    这两个二元运算一同提及
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 可以证明这样子的元素实际上是唯一的
  5. ^ 在不致混淆的情况下。
  6. ^ 暂无广为接受的中文翻译
  7. ^ 或称平凡环( Trivial ring )
  8. ^ 不论是乘在左边还是乘在右边
  9. ^ 这边暂定   有成法反元素。如果没有乘法反元素,那么有关负数次方的结果不一定成立。
  10. ^ 甚至是没有单位元的环
  11. ^ 另一种说法是不摧毁环结构。因为环同态确实会改变环的结构。
  12. ^ 这个环同态实际上就是嵌入
  13. ^ 同构定理
  14. ^ 不包括常数多项式

引用

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参考文献

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要求“环”要有乘法单位元的教科书

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不要求“环”要有乘法单位元的教科书

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外部链接

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