庞特里亚金最大化原理

庞特里亚金最大化原理(Pontryagin's maximum principle)也根据使用条件称为庞特里亚金最小化原理最大值原理最小值原理,是最优控制中的理论,是在状态或是输入控件有限制条件的情形下,可以找到将动力系统由一个状态到另一个状态的最优控制信号。此理论是苏俄数学家列夫·庞特里亚金及他的学生在1956年提出的[1]。这是变分法欧拉-拉格朗日方程的特例。

简单来说,此定理是指在所有可能的控制中,需让“控制哈密顿量”(control Hamiltonian)取极值,极值是最大值或是最小值则依问题以及哈密顿量的符号定义而不同。正式的用法,也就是哈密顿量中所使用的符号,会取到最大值,但是此条目中使用的符号定义方式,会让极值取到最小值。

是所有可能控制值的集合,则此原理指出,最优控制必须满足以下条件:

其中是最佳状态轨迹,而是最佳 协态轨迹[2]

此结果最早成功的应用在输入控制有限制条件的最小时间问题中,不过也可以用在状态有限制条件的问题中。

也可以推导控制哈密顿量的特殊条件。若最终时间固定,且控制哈密顿量不是时间的显函数,则:

若最终时间没有限制,则:

若在某一轨迹上满足庞特里亚金最大化原理,此原理是最佳解的必要条件哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要条件,但该条件须在整个状态空间中都要成立。

最大化和最小化

编辑

此定理一开始的名称是庞特里亚金最大化原理(Pontryagin's maximum principle),其证明也是以控制哈密顿量最大化为基础。此原理最早的应用是要最大化火箭的终端速度。不过后来此定理大部分的应用是使性能指标最小化,因此常称为庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的书解出了要让性能指标最小化的问题[3]

符号

编辑

以下的内容会使用这些表示方式

 
 
 
 
 

最小化问题必要条件的正式叙述

编辑

以下是让泛函最小化的必要条件。令 为在输入为 时,动态系统的状态,且满足以下条件

 

其中

 为可行控制的集合
 为系统的结束时间。

控制 需在所有 内使目标泛函 最小化,目标泛函 随应用而定,可以写成

 

系统动态的限制可以用导入时变拉格朗日乘数向量 的方式和 相加,而拉格朗日乘数向量 的元素称为系统的协态(costate)。因此可以建构在所有  哈密顿量为:

 

其中  的转置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳状态轨迹 ,最佳控制 及对应的拉格朗日乘数向量 必需最小化哈密顿量 ,因此

 

针对所有 时间,也针对所有可能的控制输入 。以下的式子也必须成立

 

而且也要满足以下的协态方程

 

若最终状态 没有固定(其微分变异不为0),最终协态也要满足以下条件

 

上述(1)-(4)的条件是最佳控制的必要条件。公式(4)只有在 没有固定时才需要成立。若 是固定值,公式(4)不在必要条件中。

此解法可以应用在宇宙学和天体物理学中 [4]

相关条目

编辑

脚注

编辑
  1. ^ 参考资料中有最早发表的论文
  2. ^ C1BV空间条目中有更多的资讯
  3. ^ 参照 Pontryagin 1962年的书,第13页
  4. ^ Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M.,. A cosmological inflationary model using optimal control. Gravitation and Cosmology (Pleiades Publishing). 2017, 23 (3): 236–239. ISSN 1995-0721. doi:10.1134/S0202289317030069. 

参考资料

编辑
  • Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S. К теории оптимальных процессов [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, 110 (1): 7–10. MR 0084444 (俄语). 
  • Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1. 
  • Fuller, A. T. Bibliography of Pontryagin's maximum principle. J. Electronics & Control. 1963, 15 (5): 513–517. 
  • Kirk, D. E. Optimal Control Theory: An Introduction. Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2. 
  • Sethi, S. P.; Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics 2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8.  Slides are available at [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  • Geering, H. P. Optimal Control with Engineering Applications. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3. 
  • Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9. 
  • Cassel, Kevin W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. Cambridge University Press. 2013. 

外部链接

编辑