度分布

度分布是图论和网络理论中的概念。一个图（或网络）由一些顶点（节点）和连接它们的边（连结）构成。每个顶点（节点）连出的所有边（连结）的数量就是这个顶点（节点）的度。度分布指的是对一个图（网络）中顶点（节点）度数的总体描述。对于随机图，度分布指的是图中顶点度数的概率分布。

英文维基条目网络的度分布。将每个条目看成顶点，超链接看成边，则对应的出度/入度的分布如图所示。

定义

度分布是图论和（复杂）网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图$G=G(V,E)$是一个由两个集合$V$和$E$构成的二元组。集合$V$一般由有限个元素构成：$V=\{v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\}$，其中的元素$v_{i},\,i=1,2,\cdots ,n$被称为图的顶点。集合$E$是由$n^{2}$个元素构成的集合：$E=\{e_{i,j}\,\,|\,\,i=1,2,\cdots ,n,\,j=1,2,\cdots ,n\}$。$E$中的每个元素都是一个非负整数。无向图中，$E$的一个元素$e_{i,j}=k$，表示$V$中的两个顶点$i$和$j$连有$k$条边，并且规定$e_{i,j}=e_{j,i}$。有向图中，$E$的一个元素$e_{i,j}=k$，表示$V$中的顶点$i$有$k$条连向顶点$j$的边。如果一个图$G$中所有的$e_{i,j}$都不超过1，并且$\forall i=1,2,\cdots ,n,\,\,e_{i,i}=0$，那么称图$G$是简单图。

网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图，但在网络理论中称之为网络，图的顶点在网络理论中称为节点，边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。

一个无向图$G=G(V,E)$中某个顶点$v_{i_{0}}$的度，是指所有与它相连的边的数目。

$d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}$

有向图中，根据连出边的数目和连入边的数目，分为出度$d_{out}$和入度$d_{in}$。

$d_{out}(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}$

$d_{in}(v_{i_{0}})=\sum _{j=i_{0}}e_{i,j}$

因此，一个无向图$G=G(V,E)$中，$d$可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数：

$d:\,v_{i}\mapsto d(v_{i})\quad i=1,2,\cdots ,n.$

而度分布则是对每个非负整数$m$，考察度数是$m$的顶点在所有顶点中占的比例：

$\forall m\in \mathbb {N} ,\,\,P:m\mapsto P(m)={\frac {\operatorname {Card} \{v_{i}\,|\,d(v_{i})=m\}}{n}},$

因此满足：

$\sum _{m\in \mathbb {N} }P(m)=1.$

从顶点中等概率地随机抽取一个顶点，那么这个顶点度数为$k$的概率就是$P(k)$。

随机图顶点的度分布

随机图是指由随机过程产生的图，即是将给定的顶点之间随机地连上边。一个随机图$G=G(V,E)$中，每两个顶点之间的边的数量$e_{i,j}$是随机变量。因此任一顶点$v_{i_{0}}$的度$d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}$也是随机变量。这个变量的概率分布也称为随机图中的顶点的度分布：

$P_{i}(k)=\mathbb {P} (d(v_{i})=k).$

这个定义与一般的图的度分布是不一样的。

在经典的随机图模型中，所有顶点的位置都是一致的，没有特殊的顶点。因此每个顶点的度分布$P_{i}(k)$都是相同的：$\forall i,\,P_{i}(k)=P(k)$。所以，随机抽取一个顶点，它的度数是$k$的概率就是$P(k)$；$P(k)$越高，表示可能有更多的顶点度数是$k$。当顶点数目很大每个顶点的度分布都是相对独立的时候，顶点的度分布$P_{i}(k)$近似等于图中度数是$k$的顶点的比例。

例子

由十个顶点构成的图

以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个，度数是3的顶点有6个，度数是6的顶点有1个，所以度分布是：

$P(m)={\begin{cases}0.3,&m=4\\0.6,&m=3\\0.1,&m=6\\0,&m\neq 3,4,6\end{cases}}$

对于$n$阶完全图，所有的顶点的度数都是$n-1$，所以度分布是：

$P(m)={\begin{cases}1,&m=n-1\\0,&m\neq n-1\end{cases}}$

图3.随机网络的度（a）集中在某个特定值$d_{c}$附近，而无尺度网络的度分布（b）则遵守幂律分布

如果图$G$是任意两顶点之间以概率$0<p<1$连边的随机图，那么每个顶点都有相同的度分布。

$P(m)={\binom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}.$

这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候，度数是$k$的顶点的个数占的比例大致是$P(k)$。这个分布的特点是当k很小或很大的时候，$P(k)$都近似于0，$P(k)$的值在一个特定的值处达到高峰，然后回落。也就是说，大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中，人们观察到，度分布并不像这种随机图模型显示的，聚集在某个特定值周围，而是随着k增大而以多项式速度递减，也就是遵从所谓的幂律分布：

$P(k)\propto {\frac {1}{k^{\gamma }}}$

也就是说$P(k)$ 的概率反比于$k$ 的某个幂次，其中$\gamma$是某个正实数。这种网络特性被称为无尺度特性。

参考文献

引用

期刊文章

• Albert, R.; Barabasi, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics. 2002, 74: 47–97. Bibcode:2002RvMP...74...47A. arXiv:cond-mat/0106096 . doi:10.1103/RevModPhys.74.47. 
• Dorogovtsev, S.; Mendes, J. F. F. Evolution of networks. Advances in Physics. 2002, 51 (4): 1079–1187. Bibcode:2002AdPhy..51.1079D. arXiv:cond-mat/0106144 . doi:10.1080/00018730110112519. 

书籍

• Shlomo Havlin, Reuven Cohen. Complex Networks: Structure, Robustness and Function. Cambridge University Press. 2010 [2013-04-20]. （原始内容存档于2011-10-04）. 

参见

• 图的连通性
• 集聚系数
• 复杂网络
• 无尺度网络
• 随机图
• 图论