度分布图论网络理论中的概念。一个图(或网络)由一些顶点(节点)和连接它们的边(连结)构成。每个顶点(节点)连出的所有边(连结)的数量就是这个顶点(节点)的。度分布指的是对一个图(网络)中顶点(节点)度数的总体描述。对于随机图,度分布指的是图中顶点度数的概率分布

英文维基条目网络的度分布。将每个条目看成顶点,超链接看成边,则对应的出度/入度的分布如图所示。

定义

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度分布是图论和(复杂)网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图 是一个由两个集合  构成的二元组。集合 一般由有限个元素构成: ,其中的元素 被称为图的顶点。集合 是由 个元素构成的集合:  中的每个元素都是一个非负整数。无向图中, 的一个元素 ,表示 中的两个顶点  连有 条边,并且规定 。有向图中, 的一个元素 ,表示 中的顶点  条连向顶点 的边。如果一个图 中所有的 都不超过1,并且 ,那么称图 是简单图。

网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图,但在网络理论中称之为网络,图的顶点在网络理论中称为节点,边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。

一个无向图 中某个顶点 的度,是指所有与它相连的边的数目。

 

有向图中,根据连出边的数目和连入边的数目,分为出度 和入度 

 
 

因此,一个无向图 中, 可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数

 

而度分布则是对每个非负整数 ,考察度数是 的顶点在所有顶点中占的比例:

 [1]

因此满足:

 

从顶点中等概率地随机抽取一个顶点,那么这个顶点度数为 的概率就是 

随机图顶点的度分布

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随机图是指由随机过程产生的图,即是将给定的顶点之间随机地连上边。一个随机图 中,每两个顶点之间的边的数量 随机变量。因此任一顶点 的度 也是随机变量。这个变量的概率分布也称为随机图中的顶点的度分布:

 

这个定义与一般的图的度分布是不一样的[2]

在经典的随机图模型中,所有顶点的位置都是一致的,没有特殊的顶点。因此每个顶点的度分布 都是相同的: 。所以,随机抽取一个顶点,它的度数是 的概率就是  越高,表示可能有更多的顶点度数是 。当顶点数目很大每个顶点的度分布都是相对独立的时候,顶点的度分布 近似等于图中度数是 的顶点的比例[1]

例子

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由十个顶点构成的图

以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个,度数是3的顶点有6个,度数是6的顶点有1个,所以度分布是:

 

对于 阶完全图,所有的顶点的度数都是 ,所以度分布是:

 
 
图3.随机网络的度(a)集中在某个特定值 附近,而无尺度网络的度分布(b)则遵守幂律分布

如果图 是任意两顶点之间以概率 连边的随机图,那么每个顶点都有相同的度分布。

 [2]

这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候,度数是 的顶点的个数占的比例大致是 。这个分布的特点是当k很小或很大的时候, 都近似于0, 的值在一个特定的值处达到高峰,然后回落。也就是说,大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中,人们观察到,度分布并不像这种随机图模型显示的,聚集在某个特定值周围,而是随着k增大而以多项式速度递减,也就是遵从所谓的幂律分布:

 

也就是说  的概率反比于  的某个幂次,其中 是某个正实数。这种网络特性被称为无尺度特性[3][4]

参考文献

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引用
  1. ^ 1.0 1.1 Newman, M. E. J. The structure and function of complex networks. SIAM Review. 2003, 45 (2): 167–256. Bibcode:2003SIAMR..45..167N. arXiv:cond-mat/0303516 . doi:10.1137/S003614450342480. [永久失效链接]
  2. ^ 2.0 2.1 M. E. J. Newman, S. H. Strogatz, D. J. Watts. Random Graphs with Arbitrary Degree Distribution and Their Applications. Phys. Rev. E. 2001, 64. doi:10.1103/PhysRevE.64.026118. 
  3. ^ 《科学美国人》中文版2003年7月. 无尺度网络. 集智集团. [2011-07-04]. (原始内容存档于2012-01-11). 
  4. ^ Albert-László Barabási, Réka Albert. Emergence of Scaling in Random Networks (PDF). Science: 509–512. [2013-04-19]. doi:10.1126/science.286.5439.509. (原始内容 (PDF)存档于2021-09-23). 
期刊文章
书籍

参见

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