度规函数

度规函数是数学凸分析的一个重要函数。设$E$为$\mathbb {R}$或$\mathbb {C}$上的向量空间，有需要时可以假设为拓扑向量空间。设$C$为在$E$内的凸集，且包含原点。那么$C$的度规函数$p$是从$E$到$\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$的函数，定义为

$p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}$,

如果$C$为空集，定义$p(x)=+\infty$。

从定义立刻得到以下结果，可以进一步说明度规函数：

$\{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}$

• 若$C$是在$E$中的开集，那么$C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}$；
• 若$C$是在$E$中的闭集，那么$C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}$。

性质

凸性

度规函数符合次加性，因此是凸函数。

只取有限值的条件

包含$0$的凸集$C$的度规函数不取$+\infty$，当且仅当$C$是吸收的。

同样地可立刻看出这条件当$0$是$C$的内点时成立。易证逆命题在有限维时成立：简洁做法是看到$p$既是有限值和处处定义的凸函数，因而$p$连续，故此$\{x\,\mid \,p(x)<1\}$包含在$C$内且是$0$的邻域。

当$0$是在$C$的内部时，可以想像这样一幅图画：函数取值1的点正好是凸集$C$的边界，其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点，函数在该点取值为$0$。

最后再补充一点。在实向量空间时，$C$相对$0$点对称，其度规函数避开$+\infty$值，这度规函数便是半范数；在复向量空间也有同样结论，只需把对称的定义，修改为与任何模为1的复数相乘都不变。

原点外不取0值的条件

从定义看出度规函数在原点外一点$x_{0}$取 $0$值，当且仅当从原点过$x_{0}$的射线包含在凸集内。

因此立刻可知在赋范向量空间内，有界凸集的度规函数不在原点外取 $0$值。

逆命题对有限维空间内的闭凸集成立，用半径为1的球面的紧致性证明。

设$C$为在有限维空间内包含$0$的闭凸集。$C$有界当且仅当其度规函数除原点外不取$0$值。

用途

• 在拓扑向量空间理论，引入一族适合的度规函数，便能够以半范数描绘局部凸空间的特性。

• 在凸集的几何中，度规函数是有用的工具，能把纯几何问题（研究超平面），转变成纯分析问题（研究超平面的方程）。在凸集分离和支撑超平面理论的一个基础结果，就是哈恩-巴拿赫定理的几何形式，其中的证明关键，在观察到对适合方程$f(x)=1$的超平面，要求超平面避开给定包含原点的开凸集，与要求函数$f$和凸集的度规函数$p$适合不定方程$p\leq f$是相同的。

参考书目

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130