拓扑向量空间

拓扑向量空间是泛函分析研究中的一个基本结构。顾名思义就是要研究具有拓扑结构的向量空间。

拓扑向量空间主要都是函数空间，在上面定义的拓扑结构就是函数列收敛的条件。

希尔伯特空间及巴拿赫空间是典型的例子。

定义编辑

带有上述两个性质的原点的邻域族唯一确定一个拓扑向量空间。在这个向量空间内的任何其他点的邻域系统是通过平移获得的。

一个拓扑向量空间 X 是布于一个拓扑域 K （通常取实数或复数域）上的向量空间，其上带有拓扑结构使得向量加法 X × X → X 与标量乘法 K × X → X 为连续映射。

注：某些作者也要求 X 是豪斯多夫空间，更有要求其为局部凸空间者（例如 Fréchet 空间）。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空间的充分条件是该空间为 $T_{1}$ 空间。

布于 K 上的拓扑向量空间范畴通常记为 TVS_K 或 TVect_K，其对象为布于 K 上的拓扑向量空间，态射则为连续的 K-线性映射。拓扑向量空间的同构是既是同胚也是线性的映射。

例子编辑

所有赋范向量空间都是拓扑向量空间的例子。因此所有巴拿赫空间及希尔伯特空间也是这些例子。

函数空间编辑

在数学分析中应用的拓扑向量空间主要是函数空间。较常见的例子有：

$C(X)$ ：拓扑空间 $X$ 上的连续函数空间，其拓扑由一族半范数 $\|f\|:=\sup _{x\in K}|f(x)|$ 定义，其中 $K$ 遍取 $X$ 中的紧子集。
$C_{0}(X)$ ：拓扑空间 $X$ 上的紧支撑集连续函数空间，拓扑由范数 $\|f\|:=\sup |f(x)|$ 定义。
Lp空间：测度空间 $(X,\mu )$ 上满足 $\int |f|^{p}\mathrm {d} \mu <+\infty$ 的函数空间，拓扑由范数 $\|f\|_{p}:=(\int |f|^{p}\mathrm {d} \mu <+\infty )^{1/p}$ 定义，其中 $p\in [1,+\infty ]$
索伯列夫空间：偏微分方程理论中常用的空间，详见主条目索伯列夫空间。
分布：一种广义函数理论，用以定义并研究偏微分方程的广义解。全体分布构成一个拓扑向量空间。
施瓦兹空间：又称快速递减函数空间，定义为 ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid ||f||_{\alpha ,\beta }<\infty \,\forall \,\alpha ,\beta \}$ ，其中 $\alpha ,\beta$ 为多重指标，其中的半范数由 $||f||_{\alpha ,\beta }=||x^{\alpha }D^{\beta }f||_{\infty }$ 给出。此空间的重要性主要在于傅立叶变换理论。

积向量空间编辑

当赋予乘积空间后，拓扑向量空间的家族的笛卡儿乘积都是拓扑向量空间．例如，X是f : R → R函数的集合. X可以被乘积空间R^R来确定的，并带有自然的乘积空间．有了这个拓扑，X成了拓扑向量空间，称呼为逐点收敛的空间．命名的原因是如果(f_n) 是X集合内元素的序列而对于所有实数x f_n(x)都有一个极限 f(x) ，那么f_n在X集合内有一个极限f．这个空间就是完整但不能赋范．

拓扑结构编辑

向量空间对加法构成阿贝尔群，拓扑向量空间的加法逆运算 $v\mapsto -v$ 是连续的（因为 $-v=(-1)\cdot v$ ），因此拓扑向量空间可视为可交换的拓扑群。

特别是：拓扑向量空间是一致空间，因此可以谈论完备性、一致收敛与一致连续。向量运算（加法与标量积）是一致连续的，因此拓扑向量空间的完备化仍为拓扑向量空间，原空间在其中是个稠密的线性子空间。

向量运算不只连续，实则还是同胚，因此我们可以从原点附近的一组局部基重构整个空间的拓扑。局部基可由以下两种开集组成：

吸收集： $\forall v\in E\quad \exists \alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall \lambda \in K\quad |\lambda |\leq \alpha \Rightarrow \lambda v\in U$ ；事实上，原点的任何邻域都是吸收集。
平衡集： $\forall \lambda \in K\quad \forall v\in E\quad |\lambda |\leq 1\Rightarrow \lambda v\in U$

一个拓扑向量空间可度量化的充要条件是：（一）它是豪斯多夫空间（二）原点有一组可数的局部基。

拓扑向量空间之间的线性函数若在某一点连续，则在整个定义域上连续。一个线性泛函连续的充要条件是其核为闭子空间。

有限维向量空间有唯一的豪斯多夫拓扑，因此任何有限维拓扑向量空间都同构于 $K^{n}$ （带上确界范数： $\|(a_{1},\ldots ,a_{n})\|:=\sup |a_{i}|$ ）。对于豪斯多夫拓扑向量空间，有限维等价于局部紧。