外观数列

外观数列（Look-and-say sequence），又被称为莫里斯数列（Morris number sequence）、蚂蚁数列，其第n项描述了第n-1项的数字分布。它以1开始：

一、1：读作“1个1”，即11

二、11：读作“2个1”，即21

三、21：读作“1个2、1个1”，即1211

四、1211：读作“1个1、1个2、2个1”，即111221

五、111221：读作“3个1、2个2、1个1”，即312211

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ... （OEIS数列A005150）

如果从 0 至 9 中的任选一个d数字生成这个数列，那么可以确定d会保留在每一项的最后一位，如果d不是1的话，那么这个数列是：

d, 1d, 111d, 311d, 13211d, 111312211d, 31131122211d, …

伊兰·瓦尔迪把 d = 3 时的数列称为康威数列（OEIS数列A006715）。（d = 2 时的数列见 A006751）

d=2

2,12,1112,3112,132112,1113122112,...

d=3

3,13,1113,3113,132113,1113122113,...

性质

画在复平面上的康威多项式的根。最右处标注λ的实根为康威常数。

• 除了1,2,3之外，没有其他数字，除非初始的种子使用了其他数字，或者初始种子包含连续三个以上的相同数字。
• 这个数列的增长是无界的。但是如果使用 22 来生成这个数列，可以得到一个退化的数列：22, 22, 22, 22, ... （OEIS数列A010861）
• 每生成下一项，数字大约增大30%。设$L_{i}$ 是第$i$项的长度，则

${\frac {L_{i+1}}{L_{i}}}\rightarrow \lambda$

其中$\lambda =1.303577269034296\ldots$（OEIS数列A014715）称为康威常数，它是下面71次方程唯一一个正实数解：

$x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+\,$

$2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-\,$

$7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-\,$

$3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-\,$

$7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-\,$

$2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0\,$

来由

这个数列最初出现在约翰·何顿·康威1986年论文 The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay（收录在Open Problems in Communication and Computation ISBN 0-387-96621-8）。它的灵感来自压缩方法RLE（Run-length encoding）。

莫里斯数列得名于密码学家罗伯特·莫里斯。

外部链接

• 康威谈到这个数列（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Look and Say Sequence. MathWorld. 
• Look and Say sequence generator（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A014715 (Decimal expansion of Conway's constant). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• A Derivation of Conway’s Degree-71 “Look-and-Say” Polynomial（页面存档备份，存于互联网档案馆）