康托尔集

在数学中，康托尔集（Cantor set）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

一种像康托尔集图案的柱头。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828  菲莱岛雕塑

康托尔集的构造

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间$\left[0,1\right]$中去掉中间的三分之一$\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$，留下两条线段：$\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]$。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：$\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]$。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间$[0,1]$中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：

$C_{0}:=[0,1]$

则第$n$步递归得到的结果：

$C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)$, 对于$n\geq 1$

所以：

${\mathcal {C}}:=$ $\lim _{n\to \infty }C_{n}$ $=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}$, 对于 $m\geq 0$.

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。

参见

• 康托尔函数
• 康托尔立方体
• 谢尔宾斯基地毯
• 科赫雪花
• 门格海绵
• 分形列表

参考文献

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446  (See example 29).
• Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
• cut-the-knot上的康托尔集 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• cut-the-knot上的康托尔集与函数 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• Cantor Sets （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Cantor Set and Function （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot