前四个五边形数.

五边形数是能排成五边形多边形数。其概念类似三角形数平方数,不过五边形数和三角形数平方数不同,所对应的形状没有旋转对称(Rotational symmetry)的特性。

个五边形数可用以下公式求得

首几个五边形数为1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, ...(OEIS数列A000326),其奇偶排列是“奇奇偶偶”。

个五边形数是第三角形数。首个五边形数的算术平均数是第个三角形数。

五边形数测试

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利用以下的公式可以测试一个正整数x是否是五边形数(此处不考虑广义五边形数):

 
  • 若n是自然数,则x是五边形数,而且恰为第n个五边形数。
  • 若n不是自然数,则x不是五边形数。

用五边形数的和来表示整数

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依照费马多边形数定理,任何整数都可以表示为不超过5个五边形数的和。但大多数的整数都可以表示不超过3个五边形数的和[1]。在小于 的整数中,只有以下6个整数需用5个五边形数的和来表示:

9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS数列A133929

广义五边形数

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广义五边形数的公式和五边形数相同,只是n可以为负数和零,n 依序为0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...,广义五边形数也可以用下式表示:

 

n 依序为0, 1, 2, 3, 4...,

其产生的数列如下:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

欧拉整数分拆理论中,五边形数定理说明广义五边形数和整数分拆的关系。

用第n个五边形数(n>2)排列组成的正五边形,外围点的个数有 个,因此在内部的点个数为:

 

刚好也是一个广义五边形数。

所有的整数都可以表示成不超过3个广义五边形数的和[1]

若三角形数可以被3整除,则除以3之后的数必为广义五边形数[2]

广义五边形数和中心六边形数

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广义五边形数和中心六边形数有密切的关系。将中心六边形数以阵列的方式排出,并且从中间将正六边形分为二个梯形,较大的梯形可以表示为五边形数,而较小的梯形可以表示为广义五边形数,因此中心六边形数可以表示为二个广义五边形数的和(五边形数也是广义五边形数的一种):

1=1+0 7=5+2 19=12+7 37=22+15
    
   
  
   
    
     
    
   
    
     
      
       
      
     
    

一般来言:

 

等式右侧为二个广义五边形数,且第一项是五边形数(n ≥ 1)。

参见

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 Guy, Richard K. Every Number is Expressible as the Sum of How Many Polygonal Numbers?. The American Mathematical Monthly. 1994-02, 101 (2): 169–172. ISSN 0002-9890. doi:10.1080/00029890.1994.11996925 (英语). 
  2. ^ Conway, John H.; Guy, Richard. The Book of Numbers. Springer Science & Business Media. 1998-03-16: 96. ISBN 978-0-387-97993-9 (英语). 

外部链接

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