五角数

五边形数是能排成五边形的多边形数。其概念类似三角形数及平方数，不过五边形数和三角形数及平方数不同，所对应的形状没有旋转对称（Rotational symmetry）的特性。

第$n$个五边形数可用以下公式求得

$p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}$

且$n>0$。

首几个五边形数为1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, ...（OEIS数列A000326），其奇偶排列是“奇奇偶偶”。

第$n$个五边形数是第$3n-1$个三角形数的${\frac {1}{3}}$。首$n$个五边形数的算术平均数是第$n$个三角形数。

五边形数测试

利用以下的公式可以测试一个正整数x是否是五边形数（此处不考虑广义五边形数）：

$n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.$

• 若n是自然数，则x是五边形数，而且恰为第n个五边形数。
• 若n不是自然数，则x不是五边形数。

用五边形数的和来表示整数

依照费马多边形数定理，任何整数都可以表示为不超过5个五边形数的和。但大多数的整数都可以表示不超过3个五边形数的和。在小于$10^{6}$的整数中，只有以下6个整数需用5个五边形数的和来表示：

9, 21, 31, 43, 55, 89 （OEIS数列A133929）

广义五边形数

广义五边形数的公式和五边形数相同，只是n可以为负数和零，n 依序为0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，广义五边形数也可以用下式表示：

$p_{n}={\frac {3n^{2}\pm n}{2}}$

n 依序为0, 1, 2, 3, 4...，

其产生的数列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

在欧拉的整数分拆理论中，五边形数定理说明广义五边形数和整数分拆的关系。

用第n个五边形数（n>2）排列组成的正五边形，外围点的个数有$5(n-1)$个，因此在内部的点个数为：

${\frac {3n^{2}-n}{2}}-5(n-1)={\frac {3n^{2}-11n+10}{2}}={\frac {(3n-5)(n-2)}{2}}={\frac {3(n-2)^{2}+(n-2)}{2}}$

刚好也是一个广义五边形数。

所有的整数都可以表示成不超过3个广义五边形数的和。

若三角形数可以被3整除，则除以3之后的数必为广义五边形数。

广义五边形数和中心六边形数

广义五边形数和中心六边形数有密切的关系。将中心六边形数以阵列的方式排出，并且从中间将正六边形分为二个梯形，较大的梯形可以表示为五边形数，而较小的梯形可以表示为广义五边形数，因此中心六边形数可以表示为二个广义五边形数的和（五边形数也是广义五边形数的一种）：

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

一般来言：

$3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n)[3(1-n)-1]$

等式右侧为二个广义五边形数，且第一项是五边形数(n ≥ 1)。

参见

• 五边形数定理

参考资料

• Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers

外部链接

• Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung（页面存档备份，存于互联网档案馆）（德文）