志村簇

在数学中的代数几何与数论领域，志村簇是一类特殊的代数簇，可视之为模曲线在高维度的类推。粗略地说，志村簇乃是埃尔米特对称空间对某个代数群之同余子群的商；最简单的例子是上半平面对 $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ 的商。一维的志村簇有时也被称为志村曲线。

志村五郎在1960年代研究了上述商空间的紧化，其目的在推广复乘法理论及互逆律^[1]；在此需要的基本结果是 Baily-Borel 定理（1966）^[2]。此后，人们也发现志村簇是某类霍奇结构的模空间。

典范模型

按照定义，志村簇本身仅是一个复流形。志村五郎证明了每个志村簇都可以定义在一个唯一确定的数域 $K$ 上，由此也可解释志村簇与数论问题的关联。这个结果是志村五郎陈述其互逆律的出发点。

在郎兰兹纲领中的角色

志村簇在郎兰兹纲领扮演重要地位。根据郎兰兹的猜想，对任一定义在数域 $K$ 上的代数簇 $X$ ，其哈瑟-韦伊ζ函数将会来自一个自守表示。至今已知的结果全是 $X$ 为志村簇的情形。

在这个方向上，一个指导性的结果是 Eichler-志村同余关系：此结果保证了模曲线的哈瑟-韦伊ζ函数可表成源自模形式的L函数之积，其中每个模型式的权都是二，并具有明确的表示式。事实上，志村五郎发展其理论的动机就是推广这个结果。

文献

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J.S. Milne, Shimura variety, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
J. S. Milne Introduction to Shimura varieties （页面存档备份，存于互联网档案馆）, chapter 2 of the book edited by Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2003)
Shimura, Goro, The Collected Works of Goro Shimura (2003), five volumes

注记

^ 见其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions。
^ Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.

外部链接

J.S. Milne, Shimura variety, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 见其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions。

[2] Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.

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